Körperaxiome und Beweise

Question

Moin Leute ,

Ich habe eine Aufgabe, wo ich auch paar Ideen habe, aber bin mir nicht sicher ob man das so schreiben kann.

Aufgabe :

Es sei K ein Körper und y,z∈K\{0}

Zu Beweisen ist :

1. y^{-1  ≠} 0

2.(y^-1 )^-1=y

Die erste Teilaufgeb habe ich leider nur nicht komplett beweisen können. Hätte jmenad da vielleicht eine Idee und wie man es formal besser aufschreibt?

Das wäre echt super lieb. Dann könnte ich das nämlich mit meinen Ideen vergleichen.

!

Answer 1

Aloha :)

1. Angenommen \(y^{-1}=0\;\;\Rightarrow\;\;y\cdot y^{-1}=y\cdot0\;\;\Rightarrow\;\;1=0\).

Also ist unsere Annahme falsch \(\Rightarrow\;\,y^{-1}\ne0\)

2. Betrachte \((x\cdot y)\) und das zugehörige inverse Element \((x\cdot y)^{-1}\):$$\left.(x\cdot y)\cdot(x\cdot y)^{-1}=1\quad\right|\;\cdot x^{-1}\text{ von links}$$$$\left.x^{-1}\cdot (x\cdot y)\cdot(x\cdot y)^{-1}=x^{-1}\quad\right|\;\text{Assoziativgesetz}$$$$\left.(x^{-1}\cdot x)\cdot y\cdot(x\cdot y)^{-1}=x^{-1}\quad\right.$$$$\left.y\cdot(x\cdot y)^{-1}=x^{-1}\quad\right|\;\cdot y^{-1}\text{ von links}$$$$\left.y^{-1}\cdot y\cdot(x\cdot y)^{-1}=y^{-1}\cdot x^{-1}\quad\right.$$$$\left.(x\cdot y)^{-1}=y^{-1}\cdot x^{-1}\quad\right.$$Damit ist nun:$$(y^{-1})^{-1}\cdot y^{-1}=(y\cdot y^{-1})^{-1}=1^{-1}=1$$Multipliziert man daran von rechts nun \(y\), erhält man:$$(y^{-1})^{-1}=y$$

Comments

Die erste Teilaufgabe habe ich noch gut hinbekommen und mit der 2. hatte ich angefangen aber dann doch kleine Denkfehler gehabt.

Vielen Dank!