Lokales und globales Differenzieren

Question

Aufgabe:

Die Graphik zeigt das Zeit-Ort-Diagramm eines Körpers, der zum Zeitpunkt t=0 senkrecht nach oben geschossen wird. Bestimmen Sie mithilfe des Funktionsterms h(t) die Geschwindigkeit des Körpers jeweils zu den Zeitpunkten to =0, t1=1, t2=2 und t3=3

Problem/Ansatz: Funktionsterm bestimmen aus der Graphik

Answer 1

h in Metern, t in Sekunden, v in m/s

h(t) beschreibt eine Parabel mit der Scheitelform   h(t) = k · (t - 2)² + 19

    (k ist der konstante Öffnungsfaktor der Parabel (#))

h(0) = 0  →   k · (-2)² + 19 = 0  →  k = -19/4

→  h(t) = -19/4 · (t - 2)² + 19

Der Term für die Geschindigkeit ist die Ableitung h'(t) =  -19/4 · 2 · (t-2)  = -19/2 · (t - 2)

Also:   v(t) = -19/2 · (t - 2) 

Jetzt musst du nur noch die 4 gegebenen Werte für t einsetzen und damit die 4 gesuchten Geschwindigkeiten ( in m/s) ausrechnen. 

Für t=0 ergibt sich z.B.  v(0) = -19/2 · (-2) = 19 [m/s]    

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(#) Nachtrag: 

 Wegen des physikalischen Hintergrunds vermeide ich die hier übliche Konstanten-

bezeichung a, um eine Verwechslung mit der Beschleunigung zu vermeiden.

        Gruß Wolfgang

Answer 2

Aloha :)

Die beiden Nullstellen sind bei \(t=0\) und bei \(t=4\). Damit hat die Parabel die Form: \(h(t)=\alpha t(t-4)\). Die Konstante \(\alpha\) folgt aus dem höchsten Punkt, denn \(h(t=2)=19\) und \(h(t=2)=-4\alpha\). Also ist \(\alpha=-\frac{19}{4}\).$$h(t)=-\frac{19}{4}t(t-4)=-\frac{19}{4}t^2+19t$$Die Geschwindigkeit wird durch die Ableitung beschrieben:$$h'(t)=-\frac{19}{2}t+19$$Speziell für die gesuchten Zeitpunke erhalten wir:$$h'(0)=19\;\;;\;\;h'(1)=\frac{19}{2}\;\;;\;\;h'(2)=0\;\;;\;\;h'(3)=-\frac{19}{2}$$