Globales und lokales Maximum

Question

Hallo ich muss gerade eine Seminararbeit in Mathematikdidaktik schreiben.

Hierzu haben wir als Funktion eine Bogenbrücke genommen, unter der ein Segelschiff hindurchfahren soll.

Die Bogenbrücke ist nur im positiven X und Y Bereich und die nach untern geöffnete Parabel schneidet an zwei Punkten im positiven X Bereich die X-Achse (wie so eine Bogenbrücke halt). Nun hat ein Schüler die beiden Nullstellen als Tiefpunkte bezeichnet. Verwechselt er dann den Begriff Tiefpunkt mit einem lokalen oder einem globalen Minimum? Bei einem Tiefpunkt muss es ja einen Vorzeichenwechsel in der Steigung geben als hinreichende, was bei einem Minimum ja nicht der Fall ist... aber ist das nun lokal oder global, ich verwechsel das immer! :D

Wäre toll wenn ihr mir weiterhelfen könntet!

Ansatz: Ich weiß dass globales Minimum das Minimum auf dem maximalen Defbereich ist. Wäre das in meinem Fall - und + unendlich? Ich betrachte ja nur einen kleinen Definitionsbereich, bis der Graph negativ wird, ist das dann schon eine Einschränkung und man kann nur von einem lokalen Minimum reden?

Comments

Da hier einige Schwierigkeiten haben, zu verstehen, was ich mit dem oben beschriebenen Graphen meinte:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=-(x-4)%5E2%2B+4

Sowas zum Beispiel, von mir aus kann die Steigung auch kleiner sein. Der Definitionsbereich ist gerade so groß, dass die beiden Nullstellen und das Intervall dazwischen enthalten ist. Wie eine Brücke eben. Punkt ist: In den Nullstellen ist die Steigung nicht 0 --> Ergo kein Tiefpunkt. Aber was ist es? Randminimum, Globales MInimum, oder sogar ein lokales Minimum?

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Dann hast du zwei Tiefpunkte am Rand, an denen die Funktion ihr globales Minimum annimmt und einen Hochpunkt in der Mitte, an dem die Funktion ihr globales Maximum annimmt. Die globalen Extremwerte sind immer auch lokale Extremwerte. Das Minimum ist ein Randminimum.

Weiter ist "Punkt ist: In den Nullstellen ist die Steigung nicht 0 --> Ergo kein Tiefpunkt." falsch.

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Moooment. Also wenn aus "Blba ist Tiefpunkt => Steigung ist 0" dann folgt aus Gründen der Logikt "Steigung ist nicht 0 => Blba ist kein Tiefpunkt" Das ist doch gerade der Punkt einer notwendigen Bedingung!

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Die Aussage "Blba ist Tiefpunkt => Steigung ist 0" ist falsch.

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Und was sagt dann deiner Meinung nach die Notwendige Bedingung aus?

Wenn dem nicht so wäre könnten ja alle Punkte bei denen die Steigung nicht 0 ist alles Extremwerte sein. Dann muss man diese Einschränkung ja gar nicht vornehmen.

Also wie wäre es, wenn du das mal begründest!

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Betrachte mal die Funktion \(y=\left|x\right|,x\in \mathbb{R}\). Diese Funktion hat an ihrem einzigen Tiefpunkt gar keine Steigung, dennoch nimmt sie an der Stelle \(x=0\) ihr globales, und damit auch ein lokales, Minumum \(y=0\) an.

Bei Randextrempunkten ist auch eine von 0 verschiedene Steigung möglich.

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Das heißt die Notwendige Bedingung ist einfach Quatsch, und man braucht das gar nicht?

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Die notwendige Bedingung für Extremstellen lautet aber nicht einfach \(f'(x_e)=0\), sondern setzt insbesondere die Existenz der Ableitung voraus. Dies ist aber beispielsweise am Rand des Definitionsbereiches gar nicht gegeben.

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Achsoooo, das meinse, hättse halt auch schon vor 4 Stunden schreiben können. :D

Answer 1

> Bei einem Tiefpunkt muss es ja einen Vorzeichenwechsel in der Steigung geben als hinreichende

Einerseits sagst du, dass es einen Vorzeichenwechsel der Steigung geben muss, dass der Vorzeichenwechsel der Steigung also notwendig ist. Andererseits sagst du, dass er hinreichend ist und implizierst damit, dass er eben nicht notwendig ist, dass es also Tiefpunkte gibt, an denen kein Vorzeichenwechsel der Steigung stattfindet. Das widerspricht sich doch.

Schau dir mal im Duden an, was "notwendig" und "hinreichend" bedeuten. Diese zwei Worter haben in def Mathematik die gleiche Bedeutung, wie in der deutschen Sprache.

Schau auch mal in deine Definition von "Tiefpunkt". Da ist mit Sicherheit nichts von Steigung und Vorzeichenwechsel die Rede.

Comments

Ja da hab ich tatsächlich was verwechselt. Ich dachte, dass das Teil der Definition eines Tiefpunktes ist, das heißt dass man den Begriff "Tiefpunkt" nur verwendet, wenn man tatsächlich einen Vorzeichenwechsel hat und man sonst nur von einem Minimum redet. Aber dem ist nicht so richtig? Das heißt wenn man eine Parabelform nach unten geöffnet oberhalb der y-Achse hat, und der Definitionsbereich der Funktion bei den Nullstellen aufhört, dann sind die beiden Nullstellen gleichzeitig Tiefpunkte?

Später wurde auch von dem Schüler eine Funktion gezeichnet die Stückweise konstant ihr Maximum annimmt, und hat dort 3 Hochpunkte makiert obwohl es dort natürlich unendlich viele geben müsste. Sehe ich das richtig? Weil es stückweise konstant ist, ist die Steigung da ja null, das heißt es gibt unzählige Hochpunkte nach dem was ihr sagt richtig?

Oder ums anders zu sagen:" Der Vorzeichenwechsel ist für einen Extrempunkt nicht notwendig, aber für einen Tiefpunkt!" Das war meine Auffassung! :)

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Also nach ein bisschen Recherche kann ich folgendes sagen:

Mit Hoch und Tiefpunkt sind immer lokale Maxima bzw. Minima gemeint.

In dem Fall sind wir aber am Rand des Definitionsbereichs, weshalb wir hier nur ein Globales Minima haben welches aber kein lokales ist.

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> Mit Hoch und Tiefpunkt sind immer lokale Maxima bzw. Minima gemeint.

Da sagt wikipedia://Extremwert etwas anderes:

• Ein Punkt heißt Tiefpunkt, wenn in einer Umgebung um diesen Punkt keine tieferen Punkte liegen.
• Ein Punkt heißt Hochpunkt, wenn in einer Umgebung um diesen Punkt keine höheren Punkte liegen.
• Ein Tiefpunkt heißt globaler Tiefpunkt, wenn die Funktion keine tieferen Funktionswerte annimmt. Ansonsten heißt er lokaler Tiefpunkt.

> Die Bogenbrücke ist nur im positiven X und Y Bereich

Das werte ich so, dass der Definitionsbereich das abgeschlossene Intervall zwischen den beiden Nullstellen ist (falls diese positiv sind)

> Nun hat ein Schüler die beiden Nullstellen als Tiefpunkte bezeichnet.

Dabei hat er Stellen und Punkte verwechselt. Eine Stelle ist eine Zahl, die als x-Koordinate aufgefasst wird. Punkte sind Paare aus einer x-Koordinate und einer y-Koordinate.

Ansonsten hat der Schüler überhaupt nichts verwechselt, die Funktion hat an den Nullstellen Tiefpunkte.

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Okay danke. Das heißt Notwendige Bedingung sind nur innerhalb des Intervalls gültig. Am Rand muss man andere Betrachtungen machen?

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> Das heißt Notwendige Bedingung sind nur innerhalb des Intervalls gültig.

Das was du als Notwendige Bedingung bezeichnest, lautet eigentlich:

    Ist D ein offenes Intervall und f: D→ℝ eine differenzierbare
    Funktion mit einer Extremstelle bei x₀ ∈ D, dann ist f'(x₀) = 0.

Weil D offen ist, gehört der Rand nicht zum Definitionsbereich von f.

Sucht man also die Extremstellen von beispielsweise einer Funktion

        g: [0, 5] → ℝ,

dann behandelt man das offene Intervall (0, 5) mit obiger Bedingung und die verbliebenen Stellen 0 und 5 mit anderen Mitteln. Ein direkter Rückgriff auf die Definition bietet sich da an.

Answer 2

" Verwechselt er dann den Begriff Tiefpunkt mit einem lokalen oder einem globalen Minimum? " 

Ich bezweifle, dass er da überhaupt etwas verwechselt. 

"Hinreichend" heisst ja genau, dass es nicht unbedingt erfüllt sein muss. 

Zudem ist in den wird Tiefpunkt in den mir bekannten Büchern, die diesen Begriff überhaupt verwenden, so verwendet, wie lokales Minimum in andern Büchern. Unterschied ist nur, dass Tiefpunkt 2 Koordinaten hat. Und beim lokalen Minimum spricht man eher vom lokalen Minimum y_(1) an der Stelle x_(1) .

Du solltest meines Erachtens die Definitionen im Schulbuch nochmals genau anschauen.

Zudem müsstest du schon erklären, wie denn die Strasse ausserhalb von diesem beiden Nullstellen weitergeht (Bild anfügen). Ist der Definitionsbereich überhaupt klar gekennzeichnet? 

Comments

Ja aber bleiben wir bei der Notwendigen Bedingung. Die Steigung in den Nullstellen ist nicht null, deswegen kann es doch kein Tiefpunkt sein nicht wahr?

Aber es ist ein Globales Minimum? Kann man also sagen Hochpunkt und Tiefpunkt sind immer lokale Max und Minima und KÖNNEN auch globale Minimum und Maxima sein, aber es gibt auch globale Maxima und Minima die keine Hoch und Tiefpunkte sind?!

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"Mit Hoch und Tiefpunkt sind immer lokale Maxima bzw. Minima gemeint."

Entscheidend ist, was in den Unterlagen des Schülers definiert ist. Das musst du wörtlich zitieren. 

Ausserdem kann am Rand eines abgeschlossenen Intervalls durchaus von einer lokalen Eigenschaft gesprochen werden. 

Zudem: Lokale Extrema, 

"In dem Fall sind wir aber am Rand des Definitionsbereichs, weshalb wir hier nur ein Globales Minima haben welches aber kein lokales ist. "

Du hast bis jetzt noch nicht einmal den Definitionsbereich richtig definiert. Nehmen wir mal an, es sei ein offenes Intervall zwischen den Nullstellen gemeint. Dann gibt es in den Nullstellen keinen Tiefpunkt. Die Funktion ist dort nicht einmal definiert. … 

Ich habe dich in der Antwort schon auf Unterschiede zw. Tiefpunkten und Minima hingewiesen. 

Tipp: Deine philosophischen Formulierungen gehen sehr schnell an den Schülern vorbei. Sorge dafür, dass du eine sehr gute bildliche Vorstellung davon hast, wie die Begriffe in deinem Bundesland zu verwenden sind, und argumentiere dann von dort aus. Wie kann eine Kurve aussehen? Was will man beschreiben? Wofür braucht man ein Wort? Wie genau verwendet man es? Nun kommen die Definitionen. 

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Naja also da gibs halt nix Philosophisches. Denke dir mal einfac eine Bogenbrücke. Brücken enden normalerweise am Boden. Der Graph ist ein geschlossenes Intervall zwischen den Nullstellen. Dennoch wird bei uns in NRW für einen "Tiefpunkt" die notwendige Bedingung formuliert, dass die Steigung gleich 0 sein muss. Ist sie am Rand dieses Intervalls aber nicht,

Es ging bei dieser Aufgabe ums Modellieren. Wir haben die Situation gestellt, dass ein Typ mit seinem Segelschiff unter einer Bogenbrücke durchfahren möchte und sich überlegt, wo er am besten durchfährt. Die Schüler sollten nun bestimmen, ob der Typ bei dieser Aufgabe einen Hochpunkt Tiefpunkt oder eine Nullstelle berechnet, und das an einer Skizze begründen. Jetzt hat der Schüler einfach einen Bogen gemalt, der halt wie eine ganz normale Brücke aussieht, ich weiß ehrlich gesagt wirklich nicht, wo da bei euch Verständnisschwierigkeiten auftauchen. Alles was ihr braucht um sie einigermaßen zu skizzieren, steht doch in der Frage oben.

Nach unten geöffnete Parabel, NUR im positiven x und y Bereich definiert, und sie schneidet die x- Achse an zwei Punkten im positiven x-Bereich.

"Joa also hast ja deinen Defbereich nicht klar definitiert". Es steht keine Menge, da da geb ich dir Recht, aber mit ein bisschen künstlerischer Freiheit ist doch wohl komplett klar wie der Definitionsbereich ist oder?

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Gestehe besser dem Schüler die künstlerische Freiheit zu.

"die notwendige Bedingung formuliert, dass die Steigung gleich 0 sein muss." bezieht sich vielleicht auf Polynome und es wurden noch gar nie Funktionen mit eingeschränktem Wertebereich / Definitionsbereich oder mit Knick behandelt, wie z.B. f(x) = √(x) . Ich habe dir einen Punkt für die Frage gegeben, damit das noch weitere Personen ansehen. Inzwischen habe ich auch einen Punkt bei einer Antwort vergeben und betrachte die Geschichte als erledigt. 

Answer 3

Definitionen

Als Nullpunkt wird in der Mathematik die
Schnittstelle zwischen einer Funktion
und der x-Achse ( y = 0 ) bezeichnet.

Der Schüler : die Bogenbrücke endet an Ihrem
Fuß bei y = 0, hat dort ihren tiefsten Punkt.
In der Umgangssprache könnte man diesen
Punkt als tiefsten Punkt der Brücke oder Tiefpunkt
bezeichen.

In der Mathematik ist der Tiefpunkt definiert
mit : Extrempunkt mit der Steigung null und
bei dem sich die Steigung von fallend
auf steigend ändert.

Randminimum wäre auch als Bezeichnung
noch möglich falls ein Definitionsbereich
angegeben ist.

Comments

Gut,dass heißt wenn die Steigung in dem Punkt nicht 0 ist, ist es kein Tiefpunkt sondern eben ein Randminimum.

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"In der Mathematik ist der Tiefpunkt definiert
mit : Extrempunkt mit der Steigung null und
bei dem sich die Steigung von fallend
auf steigend ändert."

In welcher Mathematik wird das denn so definiert?