bestimmung der gemeinsamen schnittpunkte durch gleichsetzen der funktionen
2 ± √((-9/25)*x^2 + (54/25)*x + 144/25) = 0.5x + 1.7
±√((-9/25)*x^2 + (54/25)*x + 144/25) = 0.5x + 1.7 - 2
±(-9/25)*x^2 + (54/25)*x + 144/25 = 0.25*x^2 -0.3*x + 0.09 | ^2
die berechnung der schnittpunkte läuft auf das lösen einer quadratischen gleichung hinaus, wir bringen alle terme auf die linke seite.
(-9/25)*x^2 - 0.25*x^2 + (54/25)*x + 0.3*x + 144/25 - 0.09 = 0
(-9/25)*x^2 - (25/100)*x^2 + (54/25)*x + (3/10)*x + 144/25 - 9/100 = 0
-(61*x^2)/100 + (123*x)/50 + 567/100 = 0
vorbereitung der gleichung für die pq-formel
-(61*x^2)/100 + (246*x)/100 + 567/100 = 0 | * (-100/61)
x^2 - (246*x)/61 - 567/61 = 0
anwenden der pq-formel
x1,2 = 246/122 ± √((246^2/122^2) + 567/61)
x1,2 ≈ 2.0164 ± 3.656
x1 ≈ 5.6724
x2 ≈ -1.6396
y1 ≈ 0.5*x1 + 1.7
y1 ≈ 0.5*5.6724 + 1.7
y1 ≈ 4.5352
y2 ≈ 0.5*x2 + 1.7
y2 ≈ 0.5*-1.6396 + 1.7
y2 ≈ 0.8802
bestimmung der gleichungen der tangenten, die durch die schnittpunkte
der ellipse mit der y-achse verlaufen.
das ist bei
y = 2 + √((-9/25)*0 + (54/25)*0 + 144/25)
y = 2 + √(144/25)
y = 2 + 12/5 = 10/5 + 12/5 = 22/5
y = 4.4
und bei
y = 2 - √((-9/25)*0 + (54/25)*0 + 144/25)
y = 2 - 12/5 = 10/5 - 12/5 = -2/5
y = -0.4
für die tangentengleichungen brauchen wir die erste ableitung
der (zusammengesetzten) ellipsefunktion.
wir bestimmen zuerst die erste ableitung von
f(x) = 2 + √((-9/25)*x^2 + (54/25)*x + 144/25)
$$
f'(x) = \frac{-\frac{18}{25}x+\frac{54}{25}}{2-\sqrt{\frac{9}{25}x^2}+\frac{54}{25}+\frac{144}{25}}\\
f'(x) = \frac{-\frac{18}{25}(x-3)}{2\sqrt{-\frac{9}{25}(x^2}+6x+16)}\\
f'(x) = \frac{-\frac{18}{25}(x-3)}{2\cdot3/5\sqrt{-x^2+6x+16)}}\\
f'(x) = -\frac{3(x-3)}{5\sqrt{-x^2+6x+16)}}\\
$$
bei der ersten ableitung von
f(x) = 2 - √((-9/25)*x^2 + (54/25)*x + 144/25)
ändert sich nur das vorzeichen
$$ f'(x) = \frac{3(x-3)}{5\sqrt{-x^2+6x+16)}} $$
die ellipse schneidet die y-achse an zwei stellen, y = 4.4 und y = -0.4 jeweils bei x = 0.
das sind also zwei punkte auf der y-achse: P1 = (0, 4.4) und P2 = (0, -0.4)
die steigungen der ellipse in diesen punkten sind
f'(0) = - 3(0-3) / 5√(-0^2 + 6*0 + 16)
f'(0) = 9 / 5√(16)
f'(0) = 9 / 5√(16)
f'(0) = 0.45
und
f'(0) = 3(0-3) / 5√(-0^2 + 6*0 + 16)
f'(0) = -9 / 5√(16)
f'(0) = -0.45
aus der tangentengleichung in punkt-steigungsform
f'(x0) = (y-y0)/(x-x0)
bestimmen wir die gleichungen der tangenten.
zuerst lösen wir die punkt-steigungsform nach y auf.
(y-y0) = f'(x0)(x-x0)
y = f'(x0)(x-x0) + y0
wir müssen in diese gleichung f'(x0), x0 und y0 einsetzen, um die
tangentengleichung zu bekommen.
für f'(x0) haben wir zwei werte: ±0.45,
für y0 auch: 4.4, -0.4
und für x0 einen wert: x0 = 0
mit diesen werten bekommen wir die beiden tangentengleichungen
g(x) = f'(x0)(x-x0) + y0
g(x) = 0.45(x-0) + 4.4
g(x) = 0.45x + 4.4
h(x) = -0.45(x-0) -0.4
h(x) = -0.45x -0.4
