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Betrachtet wird das Dreieck ABC mit den Eckpunkten: A(2|1|0), B(4|3|-1) und C(5|4|3). Berechnen Sie die Länge der Höhe hb.

Ich nehme an dass man hier die Lot-Ebenen-Methode anwenden muss und den Abstand zwischen B und der Mitte von AC berechnen soll ?

Als Aufpunkt würde ich dann ja B nehmen. Aber wie komme ich auf den Normalenvektor des Vektors AC ?image.jpg

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Aufgabe würde inzwischen im Unterricht besprochen und mir ist nun klar das das endergebnis 2 ist. Leider verstehe ich noch immer nicht die vorgehensweise hier. Kann mir das jemand vielleicht schritt für schritt erklären? Habs erneut selber versucht und bin soweit gekommen:

Habe also B als Aufpunkt genommen und die Strecke AC als richtungsvektorimage.jpg

Du kannst einen Normalenvektor zur der Ebene, in der das Dreieck liegt, bestimmen, indem du zum Beispiel das Vektorprodukt von \( \vec{AC} \) x \( \vec{AB} \) = \( \vec{n} \) berechnest.

Dann bildest du das Vektorprodukt aus \( \vec{n} \) und \( \vec{AC} \), da n auch senkrecht zu AC ist. (Ergebnis \( \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\2\end{pmatrix} \) )

Probiere das mal aus und melde dich, wenn du weitere Hilfe brauchst.

Gruß, Silvia

Bei mir kommt statt (-1|-1|2), (27|27|-54) raus?i

Dann kürzt du alles durch 27 und kommst auf das gleiche Ergebnis (dein Vektor hat zwar eine andere Richtung, aber das ändert nichts an der Länge)

3 Antworten

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\( \vec{AC} \) =\( \begin{pmatrix} 5\\4\\3 \end{pmatrix} \) - \( \begin{pmatrix} 2\\1\\0 \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 3\\3\\3 \end{pmatrix} \). Es gibt unendlich viele Vektoren,die auf \( \vec{AC} \) orthogonal sind. Aber nur einer davon liegt auf einer Geraden, die AC schneidet und durch B geht.

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Aloha :)

Gegeben sind die Punkte \(\vec a=(2;1;0)\;;\;\vec b=(4;3;-1)\;;\;\vec c=(5;4;3)\). Damit sind:$$\overrightarrow{AB}=\vec b-\vec a=\left(\begin{array}{c}4\\3\\-1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}2\\1\\0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\2\\-1\end{array}\right)$$$$\overrightarrow{AC}=\vec c-\vec a=\left(\begin{array}{c}5\\4\\3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}2\\1\\0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\3\\3\end{array}\right)$$

Sei in deiner Skizze der Punkt \(H\) dort, wo die Höhe \(h_b\) die Strecke \(\overline{AC}\) schneidet, dann finden wir durch Projektion von \(\overrightarrow{AB}\) auf \(\overrightarrow{AC}\):

$$\overrightarrow{AH}=\left(\overrightarrow{AB}\cdot\frac{\overrightarrow{AC}}{\overline{AC}}\right)\cdot\frac{\overrightarrow{AC}}{\overline{AC}}=\left[\left(\begin{array}{c}2\\2\\-1\end{array}\right)\cdot\frac{1}{\sqrt{27}}\left(\begin{array}{c}3\\3\\3\end{array}\right)\right]\cdot\frac{1}{\sqrt{27}}\left(\begin{array}{c}3\\3\\3\end{array}\right)$$$$\phantom{\overrightarrow{AH}}=\frac{1}{3}\left[\left(\begin{array}{c}2\\2\\-1\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right)\right]\cdot\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right)=\frac{1}{3}\cdot3\cdot\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right)$$Damit können wir nun \(h_b\) bestimmen:$$\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{HB}=\overrightarrow{AB}\;\;\Rightarrow\;\;\overrightarrow{HB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AH}=\left(\begin{array}{c}2\\2\\-1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\1\\-2\end{array}\right)$$$$\Rightarrow\;\;h_b=\left|\overrightarrow{AH}\right|=\sqrt{1^2+1^2+(-2)^2}=\sqrt4=2$$

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Das thema Projektion haben wir noch nicht behandelt, deshalb versteh ich die lösung hier leider nicht ganz :/

Gibt es einen anderen lösungsweg?

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und den Abstand zwischen B und der Mitte von AC berechnen soll ?

Nein, dass würde nur gehen, wenn das Dreieck gleichschenklig mit BA=BC wäre.


Für den Flächeninhalt F eines Dreiecks gilt F=0,5*g*h und demzufolge h=2F/g.

Berechne einfach den Flächeninhalt des Dreiecks (z.B. halber Betrag eines Vektorprodukts) , multipliziere mit 2 und teile durch die Länge der Grundseite AC.

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