Berechnen Sie k so, dass die Vektoren AC und ABk gleiche Länge haben.

Question

Aufgabe:

die Punkte A(-5|12|-9), B(-1|0|-3) und Ck(0|k|3k) mit k ∈ ℝ sind gegeben. Berechnen Sie k so, dass die Vektoren \( \vec{AC} \)k und \( \vec{AB} \) gleiche Länge haben.

Problem/Ansatz:

|\( \vec{AB} \)| = |\( \begin{pmatrix} 4\\-12\\6 \end{pmatrix} \)| = \( \sqrt{4²+(-12)²+6²}\) = \( \sqrt{196}\)

|\( \vec{AC} \)k| = |\( \begin{pmatrix} 5\\k-12\\3k+9 \end{pmatrix} \)|

|\( \vec{AC} \)k| = |\( \vec{AB} \)|

|\( \begin{pmatrix} 5\\k-12\\3k+9 \end{pmatrix} \)| = \( \sqrt{196}\)

\( \sqrt{10k²+30k+250}\) = \( \sqrt{196}\) |²

10k²+30k+250 = 196 |-196

10k²+30k+54 = 0 ...

so und jetzt mit der Mitternachtsformel weiter. Dabei kommt aber kein Ergebnis heraus, weil die Diskriminante negativ ist. Was habe ich hier falsch gemacht, oder gibt es für k keinen Wert, der beide Vektoren gleichlang macht? Und wenn dem so ist, gibt es auch eine Möglichkeit, dass schneller zu lösen?

Vielen Dank im Voraus!

Answer 1

oder gibt es für k keinen Wert, der beide Vektoren gleichlang macht?

Genau das hast Du ausgerechnet!

gibt es auch eine Möglichkeit, dass schneller zu lösen?

Nein! Optimaler Rechenweg!

Wahrscheinlich ist in den Ausgangswerten ein Schreibfehler drin. Wenn Du in der letzen Zeile mit -540 statt 54 rechnest, gibt es 2 glatte Ergebnisse.

Answer 2

Aloha :)

Deine Rechnungen sind korrekt:$$\left|\overrightarrow{AC_k}\right|^2=10k^2+30k+250\stackrel{!}{=}196$$Diese quadratische Gleichung hat keine reellen Lösungen.