Zeigen , dass eine reflexive Relation R ⊆ A × A genau dann euklidisch ist, wenn R eine Äquivalenzrelation ist.

Question

Aufgabe:

Eine binäre Relation R ⊆ A × A heißt euklidisch, falls gilt:
∀ a, b, c ∈ A. (a R b ∧ a R c) ⇒ b R c.

Problem/Ansatz:

Wie kann man das zeigen?

Answer 1

Die Richtung "<==" ist ja einfach:

Sei R eine (reflexive) Äquivalenzrelation

==> R symmetrisch und transitiv (reflexiv war eh vorausgesetzt)

Seien nun a,b,c aus A  mit aRb und aRc

wegen symm. folgt   bRa und aus

bRa und aRc  folgt mit der Trans. dann bRc.

Also ist R euklidisch.

umgekehrt:   Sei R  reflexiv und euklidisch, dann

ist zu zeigen: Daraus folgt auch symmetrisch und transitiv.

zu symmetrisch: Seien a,b aus A mit aRb

Wegen der Reflexivität gilt dann aber auch

aRb und aRa  also wegen "euklidisch"  bRa.

zu transitiv:   Seien a,b,c aus A mit aRb und bRc

wegen der schon bewiesenen Symmetrie

==>  bRa und bRc

und wegen "euklid."  also auch aRc.        q.e.d.