Welche Nutzungsdauer (in Jahren) verursacht die niedrigsten durchschnittlichen Gesamtkosten?

Question

Aufgabe:

Die Anschaffungskosten einer Maschine betragen 300000 GE, die Betriebskosten wachsen von 25000 GE im ersten Jahr jährlich um den Betrag 25000 GE. Welche Nutzungsdauer (in Jahren) verursacht die niedrigsten durchschnittlichen Gesamtkosten?

Problem/Ansatz:

Könnte mir vielleicht jemand beim Lösen helfen?

Lösung:

4,9

Answer 1

Die Gesamtkosten bis zum Jahr t sind K(t)=300 000 + 25 000·t(t+1)/2. Nun weiß ich nicht, was mit "durchschnittlichen Gesamtkosten" gemeint ist. Wenn jetzt die Gesamtkosten auf Kosten pro Jahr umgelegt werden sollen, muss man K(t) durch t teilen: f(t)=300 000/t + 25 000·(t+1)/2. Das Minimum dieser Funktion ist die positive Nullstelle der ersten Ableitung t≈5.

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Danke für die Bemühungen! Oswald konnte mir schon weiterhelfen!

Answer 2

Betriebskosten im Jahr x sind

        bk(x) = 25000·x

Betriebskosten für die ersten x Jahre sind

        BK(x) = ∑_i=1..x bk(i)
                  = ∑_i=1..x 25000·i
                  = 25000 · ∑_i=1..x i
                  = 25000 · x·(x+1)/2.

Für die druchschnittlichen Kosten wird noch der Anschaffungspreis addiert und durch die Anzahl der Jahre geteilt:

        K(x) = (300000 + BK(x))/x.

Bestimme den Tiefpunkt dieser Funktion.

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Vielen Dank für die rasche Antwort!