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Aufgabe:

Es seien ƒ : Q → Q, x↦ 3x+7/2 ,

g : Q → Q, X ↦ - 1/19 x und h : Q × Q → Q × Q,(x, y) ↦ (ƒ(y), g(x)) Funktionen.

Geben Sie die Umkehrfunktionen von f, g und h an und berechnen Sie
h ◦ h -1  und h −1 ◦ h.


Problem/Ansatz:

ich kann die Übung nicht lösen ich habe nicht verstanden wie die lösen kann, kann jemand mit bitte helfen ?

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Aloha :)

Zur Bildung der Umkehrfunktion musst du nur \(x\) und \(y\) vertauschen und danach die Funktionsgleichung nach \(y\) umstellen.$$f:\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}\;;\;x\to3x+\frac{7}{2}$$Funktionsterm mit \(y\) hinschreiben:$$y=3x+\frac{7}{2}$$\(x\) und \(y\) vertauchen und nach \(y\) umstellen:$$x=3y+\frac{7}{2}\;\;\Leftrightarrow\;\;3y=x-\frac{7}{2}\;\;\Leftrightarrow\;\;y=\frac{1}{3}x-\frac{7}{6}$$Also lautet die Umkehrfunktion:$$f^{-1}:\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}\;;\;x\to\frac{1}{3}x-\frac{7}{6}$$

Analog verfährst du bei der nächsten Funktion:$$g:\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}\;;\;x\to-\frac{1}{19}x$$\(x\) und \(y\) vertauschen und nach \(y\) umstellen:$$x=-\frac{1}{19}y\;\;\Leftrightarrow\;\;y=-19x$$$$g^{-1}:\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}\;;\;x\to-19x$$

Bei der Funktion \(h\) tauchen die beiden Funktionen als Komponenten auf:

$$h:\mathbb{Q}\times\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}\times\mathbb{Q}\;;\;\binom{x}{y}\to\binom{f(y)}{g(x)}$$Die Umkehrfunktion ist hier etwas tricky, weil die Variablen \(x\) und \(y\) im Tupel vertauschen. Das müssen wir bei der Umkehrfunktion zurücktauschen:$$h^{-1}:\mathbb{Q}\times\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}\times\mathbb{Q}\;;\;\binom{x}{y}\to\binom{g^{-1}(y)}{f^{-1}(x)}$$Glücklicherweise sollen wir ja noch die Probe machen:

$$(h\circ h^{-1})\binom{x}{y}=h\circ\binom{g^{-1}(y)}{f^{-1}(x)}=\binom{f(f^{-1}(x))}{g(g^{-1}(y))}=\binom{x}{y}\quad\checkmark$$$$(h^{-1}\circ h)\binom{x}{y}=h^{-1}\circ\binom{f(y)}{g(x)}=\binom{g^{-1}(g(x))}{f^{-1}(f(y))}=\binom{x}{y}\quad\checkmark$$

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Vielen vielen Dank

+1 Daumen

3x+7/2 =y <=>  3x = y-7/2  <=> x = y/3 - 7/6

also ist die Umkehrfunktion von f:

f^(-1)(x) = x/3 - 7/6

Bei g entsprechend.

Avatar von 287 k 🚀

Danke seeehrrrr .. wie kann man

h ◦ h -1  und h −1 ◦ h. Berechnen?

Verwende ^ und dann Klammern, um die -1 hochzustellen.

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