Zerfallsgleichung aufstellen

Question

Ich habe folgende Aufgabe gegeben:

Das obenstehende Diagramm zeigt die Förderung von Steinkohle im Jahr 1998 und die politischen Vereinbarungen bis 2012. Bestimmen Sie ein Modell unter der Annahme, dass die Förderung einer Funktion f mit f(t) mit  f(t)=a+b*e^(-k*t) genügt (1998:t=0). (Lösung: f(t)= 6,91 + 40,09*e^(-0,106*t) )

Nun habe ich mir die Lösungen zur der Aufgabe angeschaut, da ich nicht wusste wie ich verfahren soll und dort wird folgendes geschrieben:

f(0)  =  a + b = 47
f(7)  =  a + b*e^(-7*k) = 26
f(14) =  a + b*e^(-14*k) = 16

Mit e^(-14*k) = (e^(-7*k))²  folgt  a = 6,909 ; b = 40,09 ; k = 0,106

Die Formeln mit f(0), f(7) und f(14) sind klar, das Potenzgesetz auch, leider versteh ich nun nicht wie ich auf a,b und k gekommen bin.

Answer 1

(1)        a + b = 47
(2)        a + b*e^(-7*k) = 26
(3)        a + b*e^(-14*k) = 16

Gleichung (1) auflösen nach a ergibt

(4)        a = 47 - b.

Einsetzen von (4) in (2) und (3) ergibt

(5)        47 - b + b*e^(-7*k) = 26

(6)        47 - b + b*e^(-14*k) = 16

Gleichung (1) auflösen nach e^(-7*k) ergibt

(7)        e^(-7*k) = (b-21)/b

Anwedung des Potenzgesetzes in (6) ergibt

(8)        47 - b + b*(e^(-7*k))² = 16

Einsetzen von (7) in (8) ergibt

(8)        47 - b + b*((b-21)/b)² = 16

Löse diese Gleichung um b zu bestimmen. Setze die Lösung in (7) ein um k zu bestimmen und in (4) um a zu bestimmen.

Comments

Entschuldige, aber das umstellen nach b ist mir irgendwie zu hoch

wenn ich - b + b*((b-21)/b)² = -31  habe weiß ich nicht wie ich weiter umstellen kann, an sich will ich die wurzel ziehen um das ² wegzubekommen aber dann habe -b in der Wuzel und ja :D, dann wollt ich (b-21)/2 * (b-21)/2 rechnen um das irgendwie zu vermeiden, komm aber nicht auf das gleiche Ergebnis von meiner Umstellung und (b-21)/2 * (b-21)/2  wenn ich für b eine zahl einsetze. Probier grad schon eine Weile rum und bin aktuell ratlos und wollte frage ob Sie es mir detailliert umstellen könnten oder so dass ich es nachvollziehen kann?

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$\begin{aligned} -b+b\cdot\left(\frac{b-21}{b}\right)^{2} & =-31 & & \text{Bruchrechenregeln}\\ -b+b\cdot\left(\frac{b}{b}-\frac{21}{b}\right)^{2} & =-31 & & \text{Kürzen}\\ -b+b\cdot\left(1-\frac{21}{b}\right)^{2} & =-31 & & \text{binomische Formeln}\\ -b+b\cdot\left(1-2\cdot1\cdot\frac{21}{b}+\left(\frac{21}{b}\right)^{2}\right) & =-31 & & \text{Bruchrechenregeln}\\ -b+b\cdot\left(1-\frac{42}{b}+\left(\frac{21}{b}\right)^{2}\right) & =-31 & & \text{Potenzgesetze}\\ -b+b\cdot\left(1-\frac{42}{b}+\frac{21^{2}}{b^{2}}\right) & =-31 & & \text{Ausmultiplizieren}\\ -b+b-\frac{42}{b}\cdot b+\frac{21^{2}}{b^{2}}\cdot b & =-31 & & \text{Bruchrechenregeln}\\ -b+b-\frac{42\cdot b}{b}+\frac{21^{2}\cdot b}{b^{2}} & =-31 & & \text{Kürzen}\\ -b+b-42+\frac{21^{2}}{b} & =-31 & & \text{Zusammenfassen}\\ -42+\frac{21^{2}}{b} & =-31 & & |\,\cdot b\\ \left(-42+\frac{21^{2}}{b}\right)\cdot b & =-31b & & \text{Ausmultiplizieren}\\ -42b+\frac{21^{2}}{b}\cdot b & =-31b & & \text{Bruchrechenregeln}\\ -42b+\frac{21^{2}b}{b} & =-31b & & \text{Kürzen}\\ -42b+21^{2} & =-31b \end{aligned}$

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Vielen Dank, hab das Ergebnis jetzt bekommen