Mit welcher wahrscheinlichkeit befinden sich mehr Mädchen als Knaben unter 500 Neugeborene?

Question

Aufgabe:

die wahrscheinlichkeit einer knabengeburt beträgt 51.4%. mit welcher wahrscheinlichkeit befinden sich unter 500 neugeborene mehr mädchen als knaben?

Problem/Ansatz:

… kann jemand weiter helfen?

Wie sind die Schritt? was muss ich hier verwenden?

Answer 1

Aloha :)

Wir haben \(n=500\) Neugeborene. Die Wahrscheinlichkeit für einen Jungen beträgt \(p=0,514\). Damit können wir den Erwartungswert \(\mu\) und die Standardabweichung \(\sigma\) berechnen:$$\mu=n\cdot p=500\cdot0,514=257$$$$\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot(1-p)}=\sqrt{500\cdot0,514\cdot0,486}\approx11,1760$$Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den \(n\) Neugeborenen mindestens 251 Jungs sind. Weil die Normalverteilung kontinuierlich ist, es aber nur ganzzahlige Neugeborene gibt, verwenden wir die Stetigkeitskorrektur und fragen nach der Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 250,5 Jungs geboren werden:

$$P(X\ge250,5)=1-P(X<250,5)=1-\Phi\left(\frac{250,5-\mu}{\sigma}\right)=1-\Phi(-0,5816)$$Die Werte für die Standard-Normalverteilung \(\Phi(z)\) findet man oft nur für \(z>0\) aufgelistet. Mit \(\Phi(z)+\Phi(-z)=1\) kann man das jedoch umschreiben:$$P(X\ge250,5)=\Phi(0,5816)\approx71,96\%$$

Answer 2

Mit Binomialverteilung:

P(X>=251) = 1-P(X<=250) = 0,71965535469

http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/normalverteilung1.htm