Teilmengen von Vektoren die linear unabhängigen bestimmen und die Basis dazu?

Question

Ich habe die Vektoren der Menge {v+w, v-2w, 2v-w} gegeben, wie berechne ich die Teilemnge und ob sie linear unabhängig sind?

Zudem weiß ich auch nicht, wie ich die menge von w1,w2,w3 mit der basis von v zeigen soll.

w1:= 3v1+v2+2v3

w2:=v1+v2+v3

w3:= v1+v2+2v3


wäre über jede hilfe sehr dankbar!!

Answer 1

{v+w, v-2w, 2v-w} gegeben, wie berechne ich die Teilemnge und ob sie linear unabhängig sind?

Aus 2 Vektoren kann man nicht 3 linear unabhängige basteln, da 2 Vektoren nicht mehr als eine Ebene aufspannen können.

Annahme oEdA v und w sind lin unabh.

Formal

a(v+w) + b(v-2w) = 2v - w

(a+b-2)v + (a-2b+1)w = 0

a+b  - 2 = 0

a-2b + 1 = 0

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   3b - 3 = 0

b= 1, a = 1

Kontrolle v+w + v -2w = 2v -w stimmt. Die 3 Vektoren sind lin. abh. qed.

Bei 2. ist zu zeigen, dass die 3 Vektoren lin. unabh. sind. Dann kannst du sagen, dass sie eine Basis des R^3 bilden, wenn du schon weisst, dass R^3 die Dimension 3 hat.

w1:= 3v1+v2+2v3

w2:=v1+v2+v3

w3:= v1+v2+2v3

 

312
111
112

Determinante

31231
11111
11211

6+1+2 - (2+ 3+ 2) = 9-7 = 2 ≠0

==> w1,w2,w3 ist eine Basis, wenn v1,v2,v3 eine Basis war.

Comments

Ich verstehe den letzten Teil mit der determinante nicht so ganz, warum sind es nun 4 vektoren in dem spaltenvektor? Und woher nimmst du den letzten term ungleich null?

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Du meinst bestimmt das blaue Schema mit 5 Spalten. Das ist eine Hilfe, um die Determinante der 3x3-Matrix auszurechnen.
Wenn du das anders rechnest, ist das auch ok. Hauptsache du bekommst eine Zahl ≠ 0. Das zeigt, dass die Vektoren linear unabh. sind.

Ich hatte übrigens angenommen, dass v1, v2, v3 schon Basisvektoren sind, da du da nichts Genaueres dazu angegeben hattest.