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Aufgabe:

Bestimmen Sie alle Matrizen X ∈ Mat3,2 (ℂ) mit:

\( \begin{pmatrix} 1 & -i & 1 \\ i & 1 & -1 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix} \)   •   X  = \( \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -i & i \\ 0 & 1\end{pmatrix} \)



Problem/Ansatz:

Offensichtlich muss hier eine Matrix Mat3,2 gefunden werden. Ich habe versucht, das Problem mit Gleichungen zu Lösen, also: (1*x) + (-i * x) + (1 * x) = 1

etc.

Jedoch ohne Erfolg.

Wäre sehr dankbar um einen Lösungsansatz!


Mfg

vor von

1 Antwort

+4 Daumen

Aloha :)

Die erste Spalte von \(X\) erhältst du als Lösung von$$\left(\begin{array}{c}1 & -i & 1\\i & 1 & -1\\0 & 2 & 1\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}x_{11}\\x_{21}\\x_{31}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\-i\\0\end{array}\right)$$Die zweite Spalte von \(X\) erhältst du als Lösung von$$\left(\begin{array}{c}1 & -i & 1\\i & 1 & -1\\0 & 2 & 1\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}x_{12}\\x_{22}\\x_{32}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\i\\1\end{array}\right)$$Als Lösung solltest du Folgendes erhalten:$$X=\left(\begin{array}{c}\frac{1-3i}{2} & 1+\frac{i}{2}\\-\frac{1+i}{2} & \frac{1}{2}\\1+i&0\end{array}\right)$$

Hier die Rechenschritte im Detail. Verwendet wird das Gauß-Verfahren:

$$\begin{array}{c}x_{11} & x_{21} & x_{31} &&& \\1 & -i & 1 &|& 1 &\\i & 1 & -1 &|&-i &//\cdot i\\0 & 2 & 1 &|&0 &\end{array}$$$$\begin{array}{c}x_{11} & x_{21} & x_{31} &&& \\1 & -i & 1 &|& 1 &\\-1 & i & -i &|&1 &//+Gl(1)\\0 & 2 & 1 &|&0 &\end{array}$$$$\begin{array}{c}x_{11} & x_{21} & x_{31} &&& \\1 & -i & 1 &|& 1 &\\0 & 0 & 1-i &|&2 &//:(1-i)\\0 & 2 & 1 &|&0 &\end{array}$$Nebenrechnung: \(\frac{2}{1-i}=\frac{1+1}{1-i}=\frac{1-i^2}{1-i}=\frac{(1+i)(1-i)}{1-i}=1+i\)$$\begin{array}{c}x_{11} & x_{21} & x_{31} &&& \\1 & -i & 1 &|& 1 &//-Gl(2)\\0 & 0 & 1 &|&1+i &\\0 & 2 & 1 &|&0 &//-Gl(2)\end{array}$$$$\begin{array}{c}x_{11} & x_{21} & x_{31} &&& \\1 & -i & 0 &|& -i &\\0 & 0 & 1 &|&1+i &\\0 & 2 & 0 &|&-1-i &// :2\end{array}$$$$\begin{array}{c}x_{11} & x_{21} & x_{31} &&& \\1 & -i & 0 &|& -i &//+i\cdot Gl(3)\\0 & 0 & 1 &|&1+i &\\0 & 1 & 0 &|&-\frac{1+i}{2} & \end{array}$$Nebenrechnung: \(-i+i\cdot\left(-\frac{1+i}{2}\right)=-i-\frac{i+i^2}{2}=-i-\frac{i-1}{2}=\frac{-2i}{2}+\frac{1-i}{2}=\frac{1-3i}{2}\)$$\begin{array}{c}x_{11} & x_{21} & x_{31} &&& \\1 & 0 & 0 &|& \frac{1-3i}{2} &\\0 & 0 & 1 &|&1+i &\\0 & 1 & 0 &|&-\frac{1+i}{2} & \end{array}$$Diese Ergebnisse findest du in der ersten Spalte der Lösungsmatrix \(X\) wieder.

Jetzt so ähnlich nochmal für die 2-te Spalte der Lösungsmatrix \(X\):
$$\begin{array}{c}x_{12} & x_{22} & x_{32} &&& \\1 & -i & 1 &|& 1 &\\i & 1 & -1 &|&i &//\cdot i\\0 & 2 & 1 &|&1 &\end{array}$$$$\begin{array}{c}x_{12} & x_{22} & x_{32} &&& \\1 & -i & 1 &|& 1 &\\-1 & i & -i &|&-1 &//+Gl(1)\\0 & 2 & 1 &|&1 &\end{array}$$$$\begin{array}{c}x_{12} & x_{22} & x_{32} &&& \\1 & -i & 1 &|& 1 &\\0 & 0 & 1-i &|&0 &//:(1-i)\\0 & 2 & 1 &|&1 &\end{array}$$$$\begin{array}{c}x_{12} & x_{22} & x_{32} &&& \\1 & -i & 1 &|& 1 &//-Gl(2)\\0 & 0 & 1 &|&0 &\\0 & 2 & 1 &|&1 &//-Gl(2)\end{array}$$$$\begin{array}{c}x_{12} & x_{22} & x_{32} &&& \\1 & -i & 0 &|& 1 &\\0 & 0 & 1 &|&0 &\\0 & 2 & 0 &|&1 &//:2\end{array}$$$$\begin{array}{c}x_{12} & x_{22} & x_{32} &&& \\1 & -i & 0 &|& 1 &//+i\cdot Gl(3)\\0 & 0 & 1 &|&0 &\\0 & 1 & 0 &|&\frac{1}{2} &\end{array}$$$$\begin{array}{c}x_{12} & x_{22} & x_{32} &&& \\1 & 0 & 0 &|& 1+\frac{i}{2} &\\0 & 0 & 1 &|&0 &\\0 & 1 & 0 &|&\frac{1}{2} &\end{array}$$

Ich hoffe, dass du nun alles verstanden hast. Falls nicht, frag einfach nochmal nach.

vor von 15 k

Alles klar, danke für die Antwort!

Wäre es möglich, dass du mir noch die genauen Rechenschritte erklärst?

Muss man nun die erste Zeile der Matrix (1  -i  1) mit x11 multiplizieren?

dh.: (1*x) +(-i*x)+(1*x) = 1   ?
wenn ich es so rechne, komme ich auf x = 1/2i


du kommst allerdings auf 1-3i/2

Wäre super, wenn du das erläutern könntest. Danke!!

Mach ich gleich noch, muss jetzt aber erstmal zum Sport...

So, auf den besonderen Wunsch habe ich die Detail-Rechnungen oben in der Antwort ergänzt ;)

Vielen Dank!!!!

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