Extremwerte einer Funktion

Question

Aufgabe:

Wie  ermittle ich rechnerisch die globalen extremwerte dieser Funktion :

 2x² - y² -2x +4y +3

Problem/Ansatz:

Wir haben das immer mit dem Taschenrechner beigebracht bekommen, einfach die Werte ablesen. Ich würde gerne wie ich das rechnerisch mache also ohne Taschenrechner.

Dankeschön, lg

Comments

Bildlich kann wie folgt vorgegangen werden
Du stellst dir ein Teilgebiet der Alpen vor
mit der Funktion
f ( x,y ) = 2*x² - y² -2*x +4*y +3

An einem Gipfel ist die Steigung in beide
Richtungen gleich null ( Hochpunkt )
In einer Talsenke ( z.B  mit See ) ist die Steigung in beide Richtungen gleich null ( Tiefpunkt )

Der nächtste Schritt heißt " partielles Ableiten ".
Bildlich : du machst an bestimmter Stelle x einen
Schnitt parallel zur y-Achse durch das Gebirge.
Dies entspricht dem Funktionsverlauf an einer
Stelle x. x wird jetzt als Konstante angesehen
und du leitest nach y ab
x = constant
f´ (y ) = - 2y + 4
Dasselbe für x
y = const
f´( x ) = 4x - 2

An einem Gipfel oder im Tal ist die Steigung
in beide Richtung null
- 2y + 4 =0
y = 2

4x - 2 = 0
x = 0.5
( 0.5 | 2 )

Soviel zunächst
Bei Bedarf weiterfragen.

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Vielen Dank .

Answer 1

Du leitest deine Funktion zunächst nach x ab und anschließend nach y. Also

$\partial f_x (x,y) = 4x-2$ und

$\partial f_y (x,y) = -2y+4$ 

Wie du sicherlich weißt bestimmt man Extrema durch Nullsetzen des Gradienten. Wir erhalten also die Extrempunkte bei 
$\partial f_x (x,y) = 4x-2 = 0 \Leftrightarrow x=0.5$ und
$\partial f_y (x,y) = -2y +4 = 0 \Leftrightarrow y=2$ 

Comments

Du mußt noch nachweisen das es ein
Extrem- und kein Sattelpunkt ist.
siehe meinen Kommentar bei Tschaka.

Answer 2

Aloha :)

$$f(x,y)=2x^2-y^2-2x+4y+3$$Die Kandiaten für Extremstellen liegen immer dort, wo der Gradient der Funktion zu Null wird:$$\text{grad}\,f(x,y)=\binom{\frac{\partial f}{\partial x}}{\frac{\partial f}{\partial y}}=\binom{4x-2}{2y+4}\stackrel{!}{=}\binom{0}{0}\quad\Rightarrow\quad\binom{x}{y}=\binom{1/2}{2}$$Jetzt haben wir zwar einen Kandidaten für ein Extremum, müssen aber noch prüfen, ob es sich auch wirklich um ein Extremum handelt. Dazu schreiben wir die Funktionsgleichung wie folgt um:

$$f(x,y)=2x^2-y^2-2x+4y+3$$$$\phantom{f(x,y)}=2(x^2-x)-(y^2-4y)+3$$$$\phantom{f(x,y)}=2\left(x^2-x+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}\right)-\left(y^2-4y+4-4\right)+3$$$$\phantom{f(x,y)}=2\left(x^2-x+\frac{1}{4}\right)-\frac{2}{4}-\left(y^2-4y+4\right)+4+3$$$$\phantom{f(x,y)}=2\left(x-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{2}{4}-\left(y-2\right)^2+4+3$$$$\phantom{f(x,y)}=2\left(x-\frac{1}{2}\right)^2-\left(y-2\right)^2+\frac{13}{2}$$Der Extremum-Kandidat $(\frac{1}{2};2)$ passt da offenbar sehr gut rein, wir lesen direkt ab $f(\frac{1}{2};2)=\frac{13}{2}$. Aber jetzt kommt das Problem, wenn wir $x=\frac{1}{2}$ festhalten und $y\approx2$ leicht variieren, wird der Term $-(y-2)^2<0$. Das heißt, Variationen in $y$-Richtung verkleinern der Funktionswert $\frac{13}{2}$. Halten wir umgekehrt $y=2$ fest und variieren $x\approx\frac{1}{2}$, wird der Term $2(x-\frac{1}{2})^2>0$. Das heißt, Variationen in $x$-Richtung vergößern den Funktionswert $\frac{13}{2}$. Wegen dieses unterschiedlichen Verhaltens bei Variationen in $x$- und in $y$-Richtung, ist unser Kandidat kein Extremum, sondern ein Sattelpunkt.

Comments

Hallo Tschaka,
etwas einfacher für den Nachweis Extrem- oder
Sattelpunkt ist
2. Ableitungen bilden
Krümmung in beide Richtungen positiv : Tiefpunkt
Krümmung in beide Richtungen negativ : Hochpunkt
Krümmung unterschiedlich : Sattelpunkt
f´´x = 4
f´´y = -2

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Hallo Georg :)

Danke dir für den Hinweis.

Ich hatte überlegt, ob ich die Hesse-Matrix bemühen soll, aber das wäre vermutlich zu viel gewesen. Deswegen hatte ich mich für das Umformen der Funktion entschieden, weil das Verhalten am Kandidatenpunkt daran sehr schön gesehen werden kann.

Dein Vorschlag ist ein guter Mittelweg. Darauf bin ich gestern aber irgendwie nicht gekommen.

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Warten wir´s mal ab ob der Fragesteller noch
Nachfragen hat.
Hier noch ein schönes Bildchen der Funktion

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Das Bild macht dem Namen "Sattelpunkt" alle Ehre ;)

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Danke für die ganzen Antworten!!

Was mich verwirrt ist, dass ich gerade bei den lösungen nachgeschlagen habe.

Da steht nämlich dass es ein Min. Minimum bei (0,-2) gibt. Was ich überhaupt nicht verstehe.

Die antworte hier habe ich verstanden danke euch auch dafür aber jetzt habe ich verglichen und bin verwirrt. Kann mir jemand erklären wo das Problem nun liegt? ! Lg

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Kontrolliere die Funktionsgleichung in deiner Fragestellung.

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Danke dir!!!

Tatsächlich ist mir leider ein Fehler unterlaufen . Ich habe nämlich was ausgelassen.

Die Funktion lautet:

2x² -xy + y² - 2x +4y +3

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Es wäre super nett falls sich jemand die Zeit nimmt und mir die partielle Ableitung nach y und x dieser Funktion zeigen könnte.

Den Rest mach ich dann allein:)

Lg

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Bitte das als neue Frage posten, damit die vorhandenen Antworten nicht nochmals geändert werden müssen.

Da steht nämlich dass es ein Min. Minimum bei (0,-2) gibt.

(0;-2) ist dann eine Minimalstelle und nicht ein Extremwert der neuen Funktion.

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f (x,y ) = 2x² -xy + y² - 2x +4y +3
y = const
f ´ ( x ) = 4x - y -2
f ´´( x ) = 4
x = const
f ´( y ) = -x + 2y + 4
f ´´( y ) = 2

Koordinaten
4x - y -2 = 0
-x + 2y + 4 =0

4x - y - 2 = 0
4x = y + 2
x = ( y + 2) / 4

-x + 2y + 4 =0
-( y + 2) / 4 + 2y + 4 = 0
y = -2

x =( y + 2) / 4
x = 0

( 0 | -2 ) Bingo
Die Krümmungen sind 4 und 2.
= Tiefpunkt