Globales und lokales Extrema der Funktion f(x):=√(5+x^2(x-1)) für -1≤x≤1.

Question

f1 = (3x²-2x) / (2*√(5+x³-x²) und f2= -(3x²-2x)^2 / (4*√(5+x³-x²)³) + (6x-2) / 2*√(5+x³-x²)

Nullstellen sind: x=0 und x₂=2/3 -> der Zähler muss ja null ergeben richtig?

Dann f2(0) = 0 (erster Bruch) + -2 / (2 * √(5)) = -1/√(5).

Wie genau funktioniert das jetzt? Es ist ja ±√(5), also könnte es ein Tiefpunkt oder Hochpunkt sein, aber wie finde ich es raus? Und muss ich überhaupt`da steht ja nur extrema und den habe ich ja gefunden? solange f2≠0 ist, dann ist es ja ein extrema.

Vorgehensweise von mir wäre jetzt:

x=2/3 in f2 um nachzuschauen ob Extrema

und dann x=0 und x=2/3 in f(x)

danach -1 und 1 in f(x)

und dann?

Answer 1

f(x) = √(5 + x^2·(x - 1))

f'(x) = x·(3·x - 2)/(2·√(x^3 - x^2 + 5))

f''(x) = (3·x^4 - 4·x^3 + 60·x - 20)/(4·(x^3 - x^2 + 5)^{3/2})

Extrempunkte f'(x) = 0

x·(3·x - 2)/(2·√(x^3 - x^2 + 5)) = 0 --> 

x = 0 (Einfache Nullstelle von + zu - --> Hochpunkt)

x = 2/3 (Einfache Nullstelle von - zu + --> Tiefpunkt)

Du könntest auch in die 2. Ableitung einsetzen.

f''(0) = - √5/5 --> Da es negativ ist ist der Graph rechtsgekrümmt und hat einen Hochpunkt.

f''(2/3) = 3·√393/131 --> Da es positiv ist ist der Graph linksgekrümmt und man hat ein Minimum.

Jetzt rechnest du alle Funktionswerte aus. Also die an den Grenzen und an den lokalen Extrempunkten. Durch vergleich bekommst du dann auch das globale Maxima und das globale Minima.

Comments

mit + zu - wird gemeint dass ich einen Wert kleiner als 0 und einen Wert größer als Null einsetzen soll und wenn z.b. für -1 eine positive zahl rauskommt und für 1 eine negative Zahl dann habe ich einen Hochpunkt, habe ich das richtig verstanden?

und warum wird  -√5/5 als negativ gesehen wird? √5 kann doch ±, also könnte da eine postive und negative zahl rauskommen ?

Wie genau mus ich bei den Grenzen vorgehen? erstmal prüfen ob es sich um ein hp oder tp handelt und dann alles in die originale Funktion, der Hochpunkt der den höchsten Wert hat wäre dann global und umgekehrt?

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√5 ist immer eine positive Zahl. Die Wurzel aus 5 ist als diejenige positive Zahl definiert deren Quadrat 5 ergibt. Das Plus/minus kommt nur dazu wenn du z.B. quadratische Gleichungen löst. Das muss man aber explizit dazu schreiben.

Answer 2

     WIE untersucht man eine Wurzelfunktion? Die Wurzel ist doch momoton und hat genau dann Extrema, wenn der Radikand sie hat; mithin ist deine Aufgabe zurück geführt auf das Polynom



      f  (  x  )  :=  x  ³  -  x  ²  +  5      (  1  )



    Da der Radikand nir negativ werden darf, müssten wir an sich zunächst über die Nullstellen den natürlichen Definitionsbereich festlegen; hierbei ist uns die cartesische Vorzeichenregel behilflich. Es gibt genau eine negative Nullstelle ( um die wir uns keinen Kopp machen müssen. )
   Jetzt komm doch mal von Rechts; jedes Polynom geht asymptotisch gegen ( + °° ) für x ===> ( + °° )

   Alle kubistisachen Polynome singen immer wieder die selbe Melodie.

    Wenn du die erste Ableitung Null setzt, ist rein von der Asymptotik der RECHTE kritische Punkt x2 = 2/3 das MINIMUM so wie der linke x1 = 0 das Maximum.
    Ein Schluss, auf den die meisten Schüler von Selber kommen; hier ich lese ja mit. Du musst -  möglichst über das Hornerschema  bilden


    

             f ( min )  =  f  (  2/3  )        (  2  )



     weil wenn ( 2 ) positiv ist, kann ( 1 ) ja keine positiven Wurzeln mehr haben. Zu untersuchen ist ferner der Randpunkt x = 1 , der sich übrigens als zweites ( absolutes ) Maximum heraus stellt.

Comments

  Hier richtig fies. Da oben steht ja nicht  [ 0 ; 1 ] , sondern [ - 1 ; 1 ] Das hatte ich glatt übersehen. Laut Wolfram ist dann x = ( - 1 ) das absolute Minimum und nicht x = 2/3 Damit weißt du aber auch, dass diese kritische Nullstelle noch links von x = ( - 1 ) liegen muss.