Gleichheit zweier Mengen zeigen: links Kreuzprodukt zweier Mengen, rechts Direkte Summe.

Question

Aufgabe:

Zu zeigen: Sind \(V\) und \(W\) Vektorräume, so gilt: $$V \times W=(V \times\{0\}) \oplus(\{0\} \times W).$$

Ich erinnere mich aus der Mengenlehre:
A = B ⇔ A ⊆ B und B ⊆ A.

Wir haben links eine Menge, und rechts eine Menge.
A: Kreuzprodukt zweier Vektorräume.
B: Direkte Summe. 



Frage:
Wie kann ich das zeigen ?

Answer 1

Zu V×W ⊆ (V×{0})⊕({0}×W). Sei m ∈ V×W.

Seien v∈V und w∈W mit m = (v,w).

Finde ein m' ∈ V×{0} und ein m'' ∈ {0}×W, so dass

        m = m' + m''

ist.

Zu (V×{0})⊕({0}×W) ⊆ V×W. Sei m ∈ (V×{0})⊕({0}×W).

Sei v, w derart, dass m = (v,w) ist.

Zeige, dass v∈V und w∈W ist.

Comments

Finde ein m' ∈ (V×{0})⊕({0}×W) und ein m'' ∈ (V×{0})⊕({0}×W), so dass
m = m' + m''  ist.

müsstest du wohl mal überarbeiten.

Zeige dass m' und m'' durch m eindeutig bestimmt sind.

ist auch nach Überarbeitung überflüssig

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Also müsste auch so möglich sein wie es Oswald geschildert hat, oder?

Oder wie meinst du überarbeiten, dass der Schritt wegfällt ?