0 Daumen
210 Aufrufe

Aufgabe:

Wir haben v= (1,0,2,2),w=(0,1,1,−1) ∈ℝ4, und e = (e1,e2,e3,e4) als die standardbasis von ℝ4

Nun muss ich zeigen für U1 := span(e1,e2) und U2 := span(v,w) git die Gleichheit U1 ⊕ U2 = ℝ4.

⊕ Ist hierbei die direkte Summe von U1 und U2. Und definiert als linAbbildung f: U1 Χ U2 → R4 mit (u1,u2)↦u1+u2. Und wenn f injektiv ist, ist die Summe direkt.


Problem/Ansatz:

Ich habe mir überlegt, jeweils e1+v und e1+u und e2+v und e2+u zu berechnen und zeigen, dass diese 4 Vektoren linear unabhängig sind. Dies ist jedoch nicht der Fall.

Wie sollte ich denn an diese Aufgabe herangehen?


Oder reicht es einfach zu zeigen, dass die Vektoren aus U1 und U2 zusammen linear unabhängig sind und dann noch zeigen, dass sie ein Erzeugendensystem von R4 bilden?

Avatar von

3 Antworten

0 Daumen

Zeige dass {v, w, e1, e2} eine Basis von ℝ4 ist.

Avatar von 105 k 🚀

Danke Oswald:) Genau das ist mir nur viel zu einfach erschienen weshalb ich mir das nicht vorstellen konnte. Danke :D

Ist {v, w, e1, e2} linear unabhängig, dann sind in

        x = αv + βw + γe1 + δe2

die Koeeffizienten α, β, γ und δ eindeutig bestimmt. Wäre f nicht injektiv, dann müsste es u1 = γ'e1 + δ'e2 und u2 = α'v + β'w mit x = u1 + u2 und (γ', δ') ≠ (γ, δ) oder (α', β') ≠ (α, β) geben. Wegen der Linearen Unabhängigkeit ist das aber ausgeschlossen.

Ist {v, w, e1, e2} ein Erzeugendensystem von ℝ4, dann gibt es zu jedem x ∈ ℝ4 geeignete α, β, γ, δ. Dabei ist αv + βw ∈ U2 und γe1 + δe2 ∈ U1.

Deshalb genügt es, zu zeigen, dass {v, w, e1, e2} ein linear unabhängiges Erzeugendensystem, also eine Basis von ℝ4 ist.

0 Daumen

Es reicht zu zeigen, dass \(\{v,w,e_1,e_2\}\) eine linear unabhängige Menge ist.

Avatar von 29 k

Danke dir für deine Antwort. Doch weshalb müssen wir nicht noch zeigen, dass die Vektoren ein EZS bilden? Liegt es daran, weil sie bereits Untervektorräume bilden von R4?

\(n\) linear unabhängige Vektoren erzeugen einen

\(n\)-dimensionalen Unterraum. In unserem Falle ist \(n=4\).

Wenn \(U\) Unterraum von \(V\) ist und \(\dim(U)=\dim(V)\)

gilt, ist \(U=V\).

0 Daumen

U1 ⊕ U2 = ℝ4. Bedeutet doch erstmal : Jedes Element von R^4 lässt sich als

Summe von einen p aus U1 und einem q aus U2 darstellen.

Sei also \(  x=  \begin{pmatrix} a\\b\\c\\d \end{pmatrix} \in R^4 \), dann bestimme

r,s,t,u   aus ℝ mit re1 + se2 + tv + uw = x

Das gibt \(  x= (a-\frac{c+d}{4})e_1+ (b-\frac{c-d}{2})e_2+ \frac{c+d}{4}e_3+ \frac{c-d}{2}e_1 \)

Dabei ergeben ja die ersten beiden Summanden das gesuchte p und die anderen das q.

Also ist  ℝ jedenfalls gleich der Summe von U1 und U2.

Und die Summe ist direkt, wenn der 0-Vektor das einzige Element ist,

das U1 und U2 gemeinsam haben (Dann ist deine oben gegebene Abbildung

injektiv; denn Kern={0}.) #

Die Elemente von U1 sind alle von der Form   \(    \begin{pmatrix} a\\b\\c\\d \end{pmatrix}  \)

Wenn so eines auch in U2 ist, muss gelten: Es gibt a,b,x,y ∈ℝ mit

\(    \begin{pmatrix} a\\b\\0\\0 \end{pmatrix}  = x\cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\2\\2 \end{pmatrix} + y\cdot \begin{pmatrix} 0\\1\\1\\-1 \end{pmatrix}\)

also x=a und y=b und 2x+y=0 und 2x-y=0 , also i,d.Tat a=b=x=y=0.

Somit # erfüllt.

Avatar von 287 k 🚀

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community