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ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter:

Sei k ∈ N. Beweisen Sie: Es existiert ein N ∈ N, sodass k^n < n! für alle n ∈ N mit n ≥ N gilt. Gilt die Aussage auch für alle k ∈ R≥0?

Also mir ist es klar das ich den Beweis mit Induktion führen soll.

I.A. Sei n= 0

und dann erhalte ich ja 1< 1 was nicht stimmen kann..  Wenn ich n= 1 setze erhalte ich : k<1 darf das so stehn bleiben?

Falls ja, wie soll ich dann beweisen das es auch für n+1 gilt?


Ich würde mich freuen wenn mir jemand weiter helfen könnte. :r


LG :)

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2 Antworten

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Beste Antwort

Du musst erst mal nicht zwingend einen Induktionsbeweis durchführen. Du benötigst nur die Angabe eines hinreichend großen N(k), für das die Ungleichung gilt (und den Nachweis, dass dieses N(k) ausreicht).

Wie groß müsste dieses N sein?

Erster Versuch: Wir setzen  N=k.

Die linke Seite wäre dann k*k*...*k, während die rechte Seite nur 1*2*3*...*k   ist.

Die linke Seite ist also größer als die rechte.

Zweiter Versuch: Wir setzen  N=2k.

Die linke Seite wäre dann k*k*...*k (mit 2k Faktoren), während die rechte Seite

1*2*3*...*k*(k+1)*(k+2)*...*(2k-1)*(2k) ist.  

Wir ordnen jetzt rechts die Faktoren um, indem wir den ersten mit dem letzten, den zweiten mit dem vorletzen, den dritten mit den drittletzten usw. multiplizieren. Das vergleichen wir jeweils mit k*k.

Wir stellen fest:

k²>1*2k    (jedenfalls wenn k mindestens 2 ist)

k²>2*(2k-1)  (jedenfalls wenn k mindestens 4 ist)

k²>3*(2k-2)  (jedenfalls wenn k mindestens 5 ist)

...

lediglich "in Richtung Mitte" kehrt sich das mal um, denn

k²<k*(k+1)

Da aber eine Schwalbe noch keinen Sommer macht, wird das Produkt der linken Seiten sicher insgesamt größer bleiben als das Produkt der rechten Seiten.

Du brauchst also ein N, was deutlich größer als 2k ist.

Avatar von 53 k 🚀

Vielen Dank für die tolle Erklärung! :)

+1 Daumen

Du musst den Beweis für k durchführen.

k=1

kn<n!  → N=2:   1²<2!

Avatar von

Vielen Dank für die Antwort! :))

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