Welche der folgenden Funktionen sind gerade, ungerade, periodisch?

Question

Aufgabe:

Welche der folgenden Funktion sind gerade, ungerade, periodisch?

a) f(x) = x · sin(2x)

b) f(x) = sin(2x) · cos(x)

c) f(x) = e^{cos(x)}

d) f(x) = cos( e^x )

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht wie ich das rechnerisch beweisen soll. Kann mir das jemand anhand a), b), c) oder d) erklären?

Answer 1

Gerade Funktion: \(f(-x)=f(x)\)

Ungerade Funktion: \(f(-x)=-f(x)\)

a) \(f(x)=x\cdot \sin{(2x)}\)

    \(f(-x)=(-x)\cdot \sin{(-2x)}\)
    \(~~~~~~~~~~~=(-x)\cdot(- \sin{(2x)})\)
    \(~~~~~~~~~~~=x\cdot\sin{(2x)}\)

    \(~~~~~~~~~~~=f(x)\)

Die Funktion ist gerade. Der Funktionsgraph ist achsensymmetrisch zur y-Achse.

Die Funktion ist aber nicht periodisch.

\(\sin(2x)\) ist periodisch mit \(\pi\), d.h. \(\sin(2x+k\cdot\pi)=\sin(2x)~~~;~~~k\in\mathbb{Z}\)

Allerdings bewirkt der Faktor \(x\), dass die Bedingung für Periodizität nicht erfüllt ist.

\((x+\frac{k}{2}\cdot\pi)\cdot\sin(2x+k\cdot\pi)\ne x\sin(2x)\)

denn \(x+\frac{k}{2}\cdot\pi\ne x\) für \(k\ne 0\).

Ein Bild sagt mehr als 1000 Worte:

b)

c)

d)

Comments

Sehr schön dargestellt :)

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@Tschaka:

Danke für das Lob vom Fürsten der Mathematik! :-)