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Aufgabe:

Welche der folgenden Funktion sind gerade, ungerade, periodisch?

a) f(x) = x · sin(2x)

b) f(x) = sin(2x) · cos(x)

c) f(x) = ecos(x)

d) f(x) = cos( ex )


Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht wie ich das rechnerisch beweisen soll. Kann mir das jemand anhand a), b), c) oder d) erklären?

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Gerade Funktion: f(x)=f(x)f(-x)=f(x)

Ungerade Funktion: f(x)=f(x)f(-x)=-f(x)

a) f(x)=xsin(2x)f(x)=x\cdot \sin{(2x)}

    f(x)=(x)sin(2x)f(-x)=(-x)\cdot \sin{(-2x)}
               =(x)(sin(2x))~~~~~~~~~~~=(-x)\cdot(- \sin{(2x)})
               =xsin(2x)~~~~~~~~~~~=x\cdot\sin{(2x)}

               =f(x)~~~~~~~~~~~=f(x)

Die Funktion ist gerade. Der Funktionsgraph ist achsensymmetrisch zur y-Achse.

Die Funktion ist aber nicht periodisch.

sin(2x)\sin(2x) ist periodisch mit π\pi, d.h. sin(2x+kπ)=sin(2x)   ;   kZ\sin(2x+k\cdot\pi)=\sin(2x)~~~;~~~k\in\mathbb{Z}

Allerdings bewirkt der Faktor xx, dass die Bedingung für Periodizität nicht erfüllt ist.

(x+k2π)sin(2x+kπ)xsin(2x)(x+\frac{k}{2}\cdot\pi)\cdot\sin(2x+k\cdot\pi)\ne x\sin(2x)

denn x+k2πxx+\frac{k}{2}\cdot\pi\ne x für k0k\ne 0.

Ein Bild sagt mehr als 1000 Worte:


b)


c)



d)


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Sehr schön dargestellt :)

@Tschaka:

Danke für das Lob vom Fürsten der Mathematik! :-)

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