Seien a, b ∈ R. Zeigen Sie, dass die Vektoren (1, a) und (1, b) im R² genau dann linearunabhängig sind, wenn a ≠ b gilt.

Question

Seien a, b ∈ R. Zeigen Sie, dass die Vektoren (1, a) und (1, b) im R² genau dann linearunabhängig sind, wenn a ≠ b gilt.

Gast · Answer 1 · 2019-11-12T12:43:14+0000

$\begin{pmatrix} 1\\a \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1\\b \end{pmatrix}$ linear unabhängig

$\Leftrightarrow\begin{vmatrix}1&1\\a&b\end{vmatrix}= 1\cdot b-1\cdot a = b-a \ne 0$

$\Leftrightarrow a\ne b$

Tschakabumba · Answer 2 · 2019-11-12T13:07:54+0000

Aloha :)

Wenn du $n$ Vektoren mit jeweils $n$ Komponenten als Spalten oder als Zeilen in eine Determinante schreibst, dann liefert die Determinante immer das "Volumen", das von diesen $n$ Vektoren im $n$-dimensionalen Raum aufgespannt wird. Wenn die $n$ Vektoren voneinander abhängig sind, spannen sie kein volles "Volumen" auf, sodass die Determinante $=0$ wird.

In deinem konkreten Fall ist $n=2$ und das von den beiden Vektoren aufgespannte "Volumen" ist:

$$\left|\begin{array}{c}1 & 1\\a & b\end{array}\right|=1\cdot b-1\cdot a=b-a$$Für $a\ne b$ ist das aufgespannte "Volumen" (also hier die Fläche) $\ne 0$, sodass die Vektoren dann linear unabhängig voneinander sind.

Seien a, b ∈ R. Zeigen Sie, dass die Vektoren (1, a) und (1, b) im R² genau dann linearunabhängig sind, wenn a ≠ b gilt.

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