Zwei Vektoren u und v (ungleich 0) sind genau dann lin. abh., wenn mit aeK u=av gilt.

Question

Meine Notizen soweit:

Der Umkehrschluss der genannten Behauptung ist dass es zwei Vektoren u und v (ungleich 0) gibt für die es kein a∈K gibt, die aber dennoch linear abhängig sind.

Nimmt man das an, dann folgt dass u=v, da sie ansonsten nicht aus dem anderen erzeugbar wären (und somit linear abhängig).

Nun stellt sich mir die Frage, ob denn das nicht äquivalent wäre zu u=av mit a=1. Dann gäbe es ja ein a mit dem man u aus av erzeugen kann. Dann darf 1 aber kein Element des Körpers sein.

Weiter kann man ja auch K=ℚ nehmen und die Vektoren r=(1,1) und s=(√2,√2). Es gäbe zwar kein a∈K mit dem s=ar gilt aber nimmt man ein b∈ℝ, dann wären diese ja linear abhängig.

Ist das so korrekt oder "zählt das neutrale Element nicht"?

Comments

muss in der Klammer (und somit linear unabhängig) heißen

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Hi,

"Der Umkehrschluss der genannten Behauptung ist dass es zwei Vektoren u und v (ungleich 0) gibt für die es kein a∈K gibt, die aber dennoch linear abhängig sind."

das kann ich irgendwie nicht nachvollziehen. Für mich wäre der Umkehrschluss, dass 2 Vektoren \(u\) und \(v\) (ungleich 0 )eines K-Vektorraums genau dann linear unabhängig wären, wenn es kein \( a \in K \) gibt, so dass \( u = av \).

Oder gehst du hier einen Widerspruchsbeweis an?

Gruß

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Ja, das soll ein Widerspruchsbeweis sein. Es geht mir darum ein Verständnis dafür zu bekommen, da das oben genannte Bsp. mit den Vektoren r,s ergibt, dass beide linear abhängig sind, vorausgestzt es handelt sich bei dem Körper um die reellen Zahlen. Aber was ist falls der angegebene Körper ℕ ist. Sind die dann plötzlich nicht mehr linear abhängig, oder mach ich es mir da zu einfach?

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sorry aber ℕ ist schonmal kein Körper :D Um deine Frage zu beantworten

Wenn V = ℝxℝ ein ℝ-Vektorraum ist, dann sind deine Vektoren r und s linear abhängig. Soll V ein ℚ-Vektorraum sein, dann nicht.

Warum genau versuchst du hier einen Widerspruchsbeweis? Die Behauptung lässt sich doch direkt äquivalent aus der Definition von linearer Unabhängigkeit herleiten?

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Argh, für eine Sekunde nicht nachgedacht...

Okay, dann sei schon mal die erste Frage geklärt.

Hmmm... Also gilt λu+μv=0 nur dann wenn λ,μ=0. (Lineare Unabhängigkeit)

⇒ es gibt kein λ,μ für das u und v linear abhängig sind ⇔ u und v sind nur dann linear abhängig, wenn es ein λ gibt mit dem u=λv gilt. 

So?

Answer 1

So:

Deine Behauptung benutzt doch lineare Abhängigkeit, warum arbeitest du nicht direkt damit?

Nach Definition sind Vektoren \(u\) und \(v\) (ungleich 0) linear abhängig, wenn es \( \lambda,  \mu \in \mathbb{K} \setminus \{0\} \) gibt mit

$$ \lambda u + \mu v = 0 \quad  (1)$$

setze \( a = - \frac{\mu}{\lambda} \) und überlege dir warum dann äquivalent zu (1) gilt

$$ u = av$$

und deine Behauptung somit bewiesen ist.

Gruß

Comments

Vielen Dank für die Hilfe, jetzt ist glaube ich der Groschen gefallen.
Sei a = - μ/λ. Dann ist λu + μv = 0 ⇔ λu = -μv ⇔ u =  (-μ/λ)*v ⇔ u = av. 
Das wäre es dann, oder?