Logarithmus Gleichung auflösen

Question

Aufgabe:

Stellen Sie nach y um und vereinfachen Sie!

f) \(\frac{1}{2}\ln{(y-1)}=x^{2}+\ln{c}\)

g) \(\ln{y}+\ln{(y+2)}=2\ln{s}+2\)

Lösung:

f) \(y=1+(e^{x^{2}}*c)^{2}\)

g) \(y=-1+\sqrt{1+(e*s)^{2}}\)

Problem/Ansatz:

Ich komme bei den beiden Aufgaben leider nicht zum Ziel. Kann mir da bitte einer einen Denkanstoß geben? Dankeschön!

Answer 1

Aloha :)

$$\left.\frac{1}{2}\ln(y−1)=x^2+\ln c\quad\right.$$$$\left.\ln\left((y−1)^{1/2}\right)=x^2+\ln c\quad\right|\;e^{\cdots}$$$$\left.e^{\ln\left((y−1)^{1/2}\right)}=e^{x^2+\ln c}\quad\right.$$$$\left.e^{\ln\left((y−1)^{1/2}\right)}=e^{x^2}\cdot e^{\ln c}\quad\right|\;\text{Verwende: }e^{\ln a}=a$$$$\left.(y−1)^{1/2}=e^{x^2}\cdot c\quad\right|\;(\cdots)^2$$$$\left.y−1=\left(e^{x^2}\cdot c\right)^2\quad\right|\;+1$$$$\left.y=1+\left(e^{x^2}\cdot c\right)^2\quad\right.$$

$$\left.\ln y+\ln(y+2)=2\ln s+2\quad\right.$$$$\left.\ln[y(y+2)]=\ln(s^2)+2\quad\right|\;e^\cdots$$$$\left.e^{\ln[y(y+2)]}=e^{\ln(s^2)+2}\quad\right.$$$$\left.e^{\ln[y(y+2)]}=e^{\ln(s^2)}\cdot e^2\quad\right|\;\text{Verwende: }e^{\ln a}=a$$$$\left.y(y+2)=s^2\cdot e^2\quad\right|\;+1$$$$\left.y(y+2)+1=1+s^2\cdot e^2\quad\right.$$$$\left.y^2+2y+1=1+s^2\cdot e^2\quad\right.$$$$\left.(y+1)^2=1+s^2\cdot e^2\quad\right|\;\sqrt{\cdots}$$$$\left.y+1=\pm\sqrt{1+s^2e^2}\quad\right|\;-1$$$$\left.y=-1\pm\sqrt{1+s^2e^2}\quad\right.$$

Comments

Danke. So habe ich es verstanden. Aber da wäre ich niemals alleine drauf gekommen. Vielen Dank.

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Bei der letzten Zeile entfällt die Lösung mit dem Minuszeichen vor der Wurzel, da y wegen ln(y) in der ersten Zeile größer als 0 sein muss.

Answer 2

f) Beide Seiten mal 2, dann beiden Seiten mit e^x exponieren

g) ln(y²+2y) = ln s²+ 2

y²+2y = s²*e²

y²+2y-s^2e^2

pq-Formel:

....

Comments

danke erstmal für deinen Kommentar. Leider verstehe ich es och nicht ganz. Hier meine Rechnung zu f):

\(\frac{1}{2}*\ln{(y-1)}=x^{2}+\ln{c}\)

\(\ln{(y-1)}=2x^{2}+2\ln{c}\)

\(\ln{(y-1)}-\ln{c^{2}}=2x^{2}\)

\(\ln{(\frac{y-1}{c^{2}})}=2x^{2}\)

\(\frac{y-1}{c^{2}}=e^{2x^{2}}\)

\(y-1=e^{2x^{2}}*c^{2}\)

\(y=1+(e^{2x}*c)^{2}\)

Mein Ergebnis weicht jetzt noch etwas von der Lösung ab. Wo habe ich denn da einen Fehler gemacht?

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In deiner letzten Zeile hast du die falsche 2 nach außen gezogen.

\(e^{2x^2}=(e^{x^2})^2\)

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Ah ok. Dann führen also beide Wege zum Ziel. Vielen Dank.

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Viele Weg führen nach Roma mathematica. :))