Zeigen Sie, dass 3 ≤ an gilt für alle n ∈ ℕ. a_{n+1}:= 3 + 2/(7-a_{n})

Question

Gegeben sei (a_n)_n∈ℕ mit 

a_n+1 : = 3 + \( \frac{2}{7-an} \)

für n ∈ ℕ und Startwert a₁ = 5.

(a) Zeigen Sie, dass 3 ≤ a_n gilt für alle n ∈ ℕ.

(b) Beweisen Sie, dass (a_n)_n∈ℕ0 konvergiert.

(c) Bestimmen Sie den Grenzwert von (a_n)_n∈ℕ.

Kopierbar: a_{n+1}:= 3 + 2/(7-a_{n}}

Answer 1

a_{n+1}:= 3 + 2/(7-a_{n}}

Falls es einen Grenzwert a gibt, so kannst du den berechnen mit Hilfe von

a = 3 + 2/(7-a)     | * (7-a)

a(7-a) = 3(7-a) + 2

usw. (quadratische Gleichung lösen und dann noch untersuchen, ob und welches Resultat in Frage kommt).