Ableiten von einer Wurzelfunktion mit der h-Methode

Question

Aufgabe:

Leiten Sie die Funktion f(x)=Wurzel(1-x² ) mit der h-Methode ab.

Problem/Ansatz:

Verwenden Sie die dritte binomische Formel und mit Bruch erweitern, um die Differenzen der Wurzeln aufzuheben:·√a+√b√a+√b.

Answer 1

(  √(1-( x+h)^2 ) - √(1- x^2   )     / h    erweitern mit  (  √(1-( x+h)^2 ) +√(1-x^2   )

= (  √(1-( x+h)^2 ) - √(1-x^2   ) *   (  √(1-( x+h)^2 ) +√(1- x^2   )     /  (  h *  (  √(1-( x+h)^2 ) +√(1-x^2   ) )

=  (  1-( x+h)^2  - ( 1-x^2 )  )    /  (  h *  (  √(1-( x+h)^2 ) +√(1-x^2   ) )

=  (  1-( x^2 +2xh +h^2 ) - ( 1-x^2 )  )    /  (  h *  (  √(1-( x+h)^2 ) +√(1-x^2   ) )

=  (  1- x^2 -2xh -h^2  - 1 + x^2   )    /  (  h *  (  √(1-( x+h)^2 ) +√(1-x^2   ) )

=  (  -2xh -h^2     )    /  (  h *  (  √(1-( x+h)^2 ) +√(1-x^2   ) )

=  (  h*(-2x -h )    )    /  (  h *  (  √(1-( x+h)^2 ) +√(1-x^2   ) )              h kürzen

=  (-2x -h     )    /    (  √(1-( x+h)^2 ) +√(1-x^2   )

Für h gegen 0 geht das gegen

    -2x  / ( √(1-x^2   ) + √(1-x^2   ) )

=     -2x  / (2 √(1-x^2   ) )

=     -x  /  √(1-x^2   )  .