Beweis: jede nicht-abelsche Gruppe hat mindestens 5 Elemente.

Question

ich bin neu hier und ich hoffe dass ihr mir helfen könnt!

Ich soll zeigen, dass jede nicht- abelsche Gruppe mindestens 5 Elemente hat.

Leider weiß ich gar nicht, wie ich an diese Aufgabe herangehen soll.

Meine Überlegung wäre, eine Gruppe mit 4 Elementen zu bilden und zu zeigen, dass sie in jedem Fall abelsch ist.. und das gleiche dann nochmal mit einer Gruppe mit 3, 2, bzw. einem Element, um daraus zu folgern, dass die Gruppe eben mind. 5 Elemente braucht um nicht abelsch zu sein.

Jede Gruppe muss ja das neutrale Element e enthalten, sowie ein inverses Element a' . Wie aber kann ich e und a' wählen, wenn ich gar nicht weiß was die Verknüpfung der Gruppe ist? Und die restlichen Elemente nenne ich dann einfach a und b und die sind nur dazu da, damit ich dann eben 4 Elemente in der Gruppe habe, oder wie? Und wie geht es dann weiter?

Ich wäre froh wenn jemand mir weiterhelfen kann :-) LG Clementine

Answer 1

Also für 1, 2, oder 3 Elemente ist es ja einfach:

1 Element:  Das muss das neutrale e sein.  Abelsch ist die Gruppe,

denn die einzige Rechnung mit 2 Operanden ist hier e*e und

in der anderen Reihenfolge e*e  also beides gleich.

2 Elemente  Jedenfalls e und ein weiteres , etwa a .Das muss zu sich selbst

invers sein, also gilt jedenfalls a*a = e und in anderer Reihenfolge auch.

Fehlt noch a*e und e*a , das ist beides gleich a, also hier auch abelsch.

3 Elemente:  e und a und b . Wenn du mit der Gruppentafel beginnst, sieht

es erst mal so aus        *        e            a               b
                                   e         e             a               b
                                   a         a             ?                ?
                                   b         b             ?                ?

Die ? müssen dann überlegt werden:   Wäre z.B. a zu sich

selbst invers bliebe in der Zeile für das a nur noch a*b=b übrig,

was nicht geht, da a nicht das neutrale Element ist.

Also muss es so aussehen

es erst mal so aus        *        e            a               b
                                   e         e             a               b
                                   a         a             b                e
                                   b         b             a                e

ist also auch kommutativ.

Entsprechend kannst du bei 4 Elementen vorhgehen, da gibt es

allerdings 2 möglich Gruppen, die sind

aber beide abelsch.

Comments

Danke für deine Antwort! Das hat schonmal geholfen.

Eine Frage habe ich allerdings noch: du schreibst

Wäre z.B. a zu sich selbst invers bliebe in der Zeile für das a nur noch a*b=b übrig,

Bedeutet das, dass in jeder Zeile jedes Element genau einmal vorkommen muss oder wie? Und wenn ja warum? 

Und in der letzten Zeile steht dann ja b*a=a. Warum ist das so bzw. woher weiß man das? Das würde doch auch bedeuten, dass b das neutrale Element ist, was ja nicht stimmt... oder??
LG

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Bedeutet das, dass in jeder Zeile jedes Element genau einmal vorkommen muss oder wie? Und wenn ja warum?

Ja, das liegt an der Tatsache, dass

$$ \tau_g : G\to G, x \mapsto gx $$ eine bijektive Abbildung ist.

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Bedeutet das, dass in jeder Zeile jedes Element genau einmal vorkommen muss oder wie? Und wenn ja warum?

Ja, sonst hättest du einem a verschiedene x und y mit

a*x = a*y  und weil a ja ein Inverses hat hieße dies

a^(-1) *a*x =a^(-1)  *a*y

==>   x = y  Widerspruch !