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Hi :)

Die Aufgabestellung ist folgende. Beweise, dass für jede natürliche Zahl n mindestens eine der Zahlen n^3 + n und n^3 - n durch 10 teilbar ist

Kann man das mit der Induktion beweisen oder wie kann man das beweisen das jeweils eine der zwei Funktionen gilt.

Danke

von

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n^3 mod 10
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Die Einerziffern von n und n^3 sind

           entweder gleich → n^3-n=10a,

           oder ergänzen sich zu 10 → n^3+n=10b.

a und b sind dabei natürliche Zahlen.

von
+2 Daumen

Eine Zahl ist durch 10 teilbar genau dann, wenn sie durch 2 und durch 5 teilbar ist:

Ich würde einfach mal die verschiedenen Fälle bzgl. Teilbarkeit durch 5 durchgehen:

Dazu betrachte

Fall1  :           n^3+n = n*(n^2 + 1)     und

Fall2  :           n^3 -n = n*(n+1)*(n-1)

Wenn 5|n gilt  , dann ist im Fall2 die Sache durch 10 teilbar;

denn 5|n und einer der drei Faktoren  n*(n+1)*(n-1) ist sicherlich gerade.

Wenn 5|n+1  gilt  , dann ist es entsprechend  und

Wenn 5|n-1   gilt  auch.

Bleiben also die Fälle

Wenn 5|n+2   und  5|n+3 , also ist im Fall2  keiner der Faktoren durch

5 teilbar , also auch  n^3 -n nicht.

Dann wird wohl der Fall1 zum Erfolg führen:

5|n+2  ==>   n ist von der Form 5k-2

==>  n^2  = 25k^2 - 10k + 4

==>  n^2 + 1  = 25k^2 - 10k + 4 + 1 =  5*(5k^2 -2k + 1)

also ist das schon mal durch 5 teilbar.

Wenn n gerade ist, dann ist also im Produkt n*(n^2 + 1)

ein Faktor durch 2 und einer durch 5 teilbar, also das Produkt durch 10.

Wenn n ungerade ist, dann auch n^2 und somit n^2 + 1 gerade, also durch 2

und durch 5 teilbar, also auch durch 10.

Bleibt der letzte Fall:    5|n+3 ==>   n=5k-3

                                             ==> n^2 = 25k^2 - 15k + 9

                                      ==> n^2 + 1  = 25k^2 - 15k + 9 + 1 = 5*( 5k^2 - 3k + 2) ,

also  durch 5 teilbar. Und wie oben kann man argumentieren, dass einer

der Faktoren von  n*(n^2 + 1)  gerade sein muss, also das Produkt durch 10 teilbar.

                                       q.e.d.

von 273 k 🚀

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