\(\sum\limits_{i=1}^{N}\vec{r_i}\text{grad}_iU=-U\) zeigen

Question

Ich soll zeigen, dass \(\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{N}\vec{r_i}\text{grad}_iU=-U\), wobei \(\displaystyle\text{grad}_i\) die Ableitung bzgl. \(\displaystyle\vec r_i\) und \(\displaystyle U=\sum\limits_{\text{Paare}(i,j)}^{}U_{ij}(|\vec r_i-\vec r_j|)\) mit \(\displaystyle U_{ij}=-G\frac{m_im_j}{|\vec r_i-\vec r_j|}\) ist.

Berechnet habe ich \(\displaystyle\text{grad}_iU=\sum\limits_{\text{Paare}(i,j)}^{}\text{grad}_iU_{ij}(|\vec r_i-\vec r_j|)=\sum\limits_{\text{Paare}(i,j)}^{}G\frac{m_im_j}{|\vec r_i-\vec r_j|^2}=-U\cdot\frac1{|\vec r_i-\vec r_j|}\).
Damit muss \(\displaystyle -U\sum \limits_{i=1}^{N}\frac{\vec r_i}{|\vec r_i-\vec r_j|}=-U\) gelten und deswegen \(\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{N}\frac{\vec r_i}{|\vec r_i-\vec r_j|}=1\). Hier weiß ich aber nicht, wie ich das zeigen kann.

Answer 1

Aloha :)

Du hast den Gradienten nicht korrekt berechnet. Richtig ist:$$\text{grad}_i\,\frac{1}{|\vec r_i-\vec r_j|}=\frac{\partial}{\partial \vec r_i}\left(\vec r_i^2-2\vec r_i\,\vec r_j+\vec r_j^2\right)^{-1/2}$$$$=-\frac{1}{2}\left(\vec r_i^2-2\vec r_i\,\vec r_j+\vec r_j^2\right)^{-3/2}\cdot\left(2\vec r_i-2\vec r_j\right)=-\frac{\vec r_i-\vec r_j}{|\vec r_i-\vec r_j|^3}$$Die angegebene Summation aus der Aufgabenstellung kann ich so nicht nachvollziehen. Vermutlich fehlt noch eine Bedingung an die Vektoren, die du bisher nicht verwendet hast.

Comments

Stimmt danke, ich hab den Betrag einmal vergessen...

Es ist nur noch gegeben, dass die Paare (i,j) und (j,i) gleich sind (wichtig für die Summe bei U) und dass i≠j. 2≤N∈ℕ. Das bringt auch keinen Fortschritt, soweit ich das sehe. Thematisch geht es um das gravitative N-Körperproblem und dafür brauche ich diese Relation.

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Vielleicht ist der Ursprung des verwendeten Koordinatensystems der Schwerpunkt? Dann wäre die Summe über alle \(\vec r_i\) der Nullvektor.

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Ist in der Aufgabe nicht gegeben, aber beim Zweikörperproblem war das hier der Fall. Angenommen es wäre so, inwiefern hilft das dann weiter?