Wie Konvergenz beweisen?

Question

ich wollte fragen ob man die Konvergenz einer rekursiven Folge durch die Definition :

∀ϵ>0∃n0∈N∀n≥n0:∣a_n−a∣<ϵ

oder nur durch das Beweisen von Beschränktheit und Monotonie zeigen kann?

MfG

Answer 1

Die Definition ist das richtige um die Konvergenz zu zeiden. Beschränktheit und Monotonie ist ein hinreichendes Kriterium aber kein notwendiges. Beispiel, die Folge $$ a_n = (-1)^n 2^{-n}  $$ ist nicht monoton, konvergiert aber. Es gilt $$ \lim_{n\to\infty} a_n = 0  $$

Answer 2

Deine Konvergenz-Definition auf rekursive Folgen anzuwenden ist sehr schwierig, weil du eben keine explizite Bildungsvorschrift hast, die dir sagt, welcher Wert beim n-ten Folgenglied angenommen wird.

Daher ist es einfacher Beschränktheit und Monotonie bei rekursiven Folgen zu zeigen, um dann daraus die Konvergenz folgern zu können.