Beweis Funktion ist harmonisch

Question

Aufgabe:

Wir sollen zeigen, dass folgende Funktion harmonisch ist, sprich, dass die Summe der 2. Ableitung 0 ergibt.

Sei \( N \geq 3 \) und \( u: \mathbb{R}^{N} \backslash\{0\} \rightarrow \mathbb{R}, u(x)=|x|^{2-N} . \) Zeigen Sie, dass \( u \) harmonisch ist, d.h. dass für alle \( x \in \mathbb{R}^{N} \backslash\{0\} \) gilt \( \sum \limits_{i=1}^{N} \partial_{i}^{2} u(x)=0 \)

Problem/Ansatz:

Meine Idee wäre es gewesen, es mithilfe Induktion zu zeigen. Jedoch komme ich im Induktionsschritt nicht weiter..

Answer 1

Siehe hier

http://www.math.kit.edu/iana2/lehre/pdes2014w/media/pde.pdf

mit $$ \phi(r) = r^{2-n}  $$

Comments

Danke für den Hinweis, aber der Beweis aus dem Skript zeigt doch nicht, dass die Summe der Ableitungen 0 ergibt oder übersehe ich das?

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Ich denke schon.

Allgemein gilt nach dem Hinweis

$$ \Delta u(x) = \varphi''(r) + \frac{n-1}{r} \varphi(r)  $$

Mit $$ \varphi(r) = r^{2-n} $$ folgt $$ \varphi'(r) = (2-n)r^{1-n}  $$ und $$  \varphi''(r) = (2-n)(1-n)r^{-n}  $$

Also $$ \Delta u(x) = (2-n)(1-n)r^{-n} + \frac{n-1}{r} (2-n)r^{1-n} = 0  $$