Rekursiv definierte Folge a_1:=25 ; 3a_n+1:=2a_n+10. Untersuche diese auf Konvergenz und bestimme den Grenzwert.

Question

ich soll a₁:=25 ; 3a_n+1:=2a_n+10 auf konvergenz untersuchen.. hab schon hunderte Lösungen von ähnlichen aufgaben angeguckt, aber irgendwie versteh ichs einfach nicht.

Answer 1

Ich verwende mal für an+1 = y und an = x

3·y = 2·x + 10

Wir lösen das Ganze mal nach y auf

y = 2/3·x + 10/3

Wenn wir jetzt 25 einsetzen kommt 20 heraus. Also weniger. Wir können ja mal ermitteln was wir einsetzen können damit der Wert kleiner wird als das was wir eingesetzt haben

x > 2/3·x + 10/3
1/3·x > 10/3
x > 10 

Solange ich etwas größer als 10 einsetze, kommt weniger heraus. Wenn ich 10 einsetze, kommt auch genau 10 heraus. Daraus schließe ich das 10 ein Grenzwert ist.

Comments

schonmal danke=), aber muss man nicht noch zusätzlich beweisen, dass die Folge überhaupt kovergent ist, oder reicht das Abschätzen des Grenzwertes aus...?

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Du kannst ja zeigen das wenn du 10 + h einsetzt

2/3·(10 + h) + 10/3 = 10 + 2/3·h

Dann kommt also immer noch etwas über 10 heraus. Der Abstand verringert sich aber auf 2/3. Damit ist letztendlich auch die Konvergenz gezeigt. Das mussten wir damals aber glaube ich nicht machen.

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hab mich nur gewundert weil die Aufgabe recht viele Punkte gibt für so eine "kurze" Lösung, aber wenn das reicht ist das super=)