Integralumformung Substitution und Rechnung cos2 arctan

Question

Aufgabe:

$$\text{Es sei die Funktion } v: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C} \text{ definiert durch: }$$

$$v(t) =-\frac{\cos^2{(\frac{\pi t}{2})} - 2 \cdot \arctan{(\frac{t-3}{2})}}{4} \quad (t \in R)$$

$$\text{ Nehmen Sie zunächst die Integralumformung }$$

$$\int_{1}^{5} v(t) dt = \int_{-1}^{1} w(x) dx =: I(w)$$

durch eine Substitution $$t = \varphi{(x)}$$ mittels einer geeigneten reell-affin-linearen Funktion $$\varphi: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \text{ mit }\varphi{(-1)} = 1 \text{ und } \varphi{(1)} = 5 \text{ vor und geben Sie nachstehend ihre Wahl für }$$

$$\varphi{(x)} := ? \text{ und }$$

$$w(x) := ? \text{ für } x \in \mathbb{R} \text{ an !}$$

Zerlegen Sie anschließend $$w = w_g + w_u$$ in einen geraden Anteil $$w_g$$ und einen ungeraden Anteil $$w_u$$ und geben Sie den geraden Anteil für nicht-negative $$x \in [0| \infty)$$ in möglichst einfacher Weise explizit an !

$$w_g(x) = \frac{\cos{(2 \pi x)} - 1}{4} (x \in [0|\infty)) \text{ ? Wie kommt man darauf ?}$$

und berechnen Sie abschliessend das nun noch verbleibende Integra:

$$I(w) = 2 \cdot \int_{0}^{1} w_g(x) dx =$$

Problem/Ansatz:

Also für die Substitution habe ich

$$t = \varphi{(x)} = \frac{t-3}{2}$$

und komme dann mit den eingesetzten Grenzen auf die neuen Grenzen -1 und 1

Die Frage ist jetzt, wie man wg und das somit das Integral ausrechnet.

Für den cos² habe ich mal als Idee das Additionstheorem

$$\frac{- 1 - \cos{(2 (\frac{\pi t}{2}))}}{2 \cdot 4 = 8}$$ Der arctan ist ja von -1 bis 1 ungerade bzw. punktsymmetrisch daher kann ich den ja vernachlässigen

Aber wie komme ich auf $$w_g = \frac{\cos{(2 \pi x)} - 1}{4}$$

Answer 1

mache die Transformation

$$\varphi(x) = 2x + 3$$ dann gilt $\varphi(-1)=1$ und $\varphi(1) = 5$. damit ergibt sich

$$\int_1^5 v(t) dt = \int_{-1}^1 v(\varphi(x) \varphi'(x) dx = -2 \int_{-1}^1 \left( \frac{ \cos^2\left( \frac{\pi}{2} (2x+3) \right) - 2 \arctan(x) }{4} \right) dx = \\ -\frac{1}{2} \int_{-1}^1 \cos^2 \left( \frac{\pi}{2} (2x+3) \right) dx$$ weil der ungerade Anteil, wie Du auch geschrieben hast, wegfällt. Mit trigonometrischen Umrechnungsformeln folgt $$-\frac{1}{2} \cos^2 \left( \frac{\pi}{2} (2x+3) \right) = \frac{1}{4} ( \cos(2\pi x ) -1 )$$ und für das Integral folgt insgesamt $$\int_1^5 v(t) dt = -\frac{1}{2}$$