Rechtsinverse und Linksinverse

Question

könnt ihr mir sagen warum $$ A=\left(\begin{array}{cccc}{1} & {1} & {0} & {1} \\ {1} & {2} & {-1} & {1} \\ {1} & {1} & {0} & {3}\end{array}\right) $$ eine Rechtsinverse aber keine Linksinverse hat? Und wie kann ich in dem Fall Rechtsinverse bestimmen?

Mfg

Answer 1

Löse das Gleichungssystem

          a              1
M       b     =       0
          c              0
          d

Das klappt z.B. mit a=2,5 und b=-1 und c=0 und d= -1/2.

Damit hast du die erste Spalte der Rechtsinversen.

Dann entsprechend mit

                            0
……………   =     1 
                            0

für die 2. Spalte und dann noch die dritte.

Dann ist die Rechtsinverse fertig.

Von links klappt es nicht.

Answer 2

Wir haben

\(\small A_{4x3} \, :=  \, \left(\begin{array}{rrr}a11&a12&a13\\a21&a22&a23\\a31&a32&a33\\a41&a42&a43\\\end{array}\right)\)

\(A_{3x4} \; A_{4x3} = E_{3x3}\)

\(\small \left(\begin{array}{rrr}a11 + a21 + a41 - 1&a12 + a22 + a42&a13 + a23 + a43\\a11 + 2 \; a21 - a31 + a41&a12 + 2 \; a22 - a32 + a42 - 1&a13 + 2 \; a23 - a33 + a43\\a11 + a21 + 3 \; a41&a12 + a22 + 3 \; a42&a13 + a23 + 3 \; a43 - 1\\\end{array}\right)\)

\(\small a11 = -a31 + \frac{5}{2}, a12 = -a32 - 1, a13 = -a33 - \frac{1}{2}, a21 = a31 - 1, a22 = a32 + 1, a23 = a33, a31 = a31, a32 = a32, a33 = a33, a41 = -\frac{1}{2}, a42 = 0, a43 = \frac{1}{2}  \)

Es gibt freie Parameter a31,a32,a33 und wir haben immer Lösungen für das LGS
oder
\(A_{4x3} \; A_{3x4} = E_{4x4}\)
wir haben 16 Matrixwerte aus 16 Gleichungen zu bestimmen,
das LGS muss lösbar sein um A_4x3 zu erhalten - das ist es nicht.