Stetigkeit von f(x,y):= (xy)/(x^2 + y^2) falls (x,y)≠(0,0) und 0 sonst im Punkt P(0|0)?

Question

bei folgender Aufgabe habe ich Probleme:

Funktion f: ℝ² -> ℝ sei definiert durch:

$$ f(x,y) := \begin{pmatrix} \frac{x*y}{x^2+y^2}, falls (x,y) \neq (0,0)  \\ 0 , falls (x,y) = (0,0) \end{pmatrix}$$

Das sollen eig. geschweifte Klammern sein.

Überprüfe, ob f im Punkt (0,0) stetig ist.

Answer 1

Betrachte die Folge (1/n ; 1/n ) .  Die geht gegen (0;0) , aber die

Folge der Funktionswerte ist konstant vom Wert 1/2 geht also gegen 1/2 und

nicht gegen den Funktionswert bei ( 0;0) ; denn der ist 0.

Also f nicht stetig in (0;0).

Answer 2

Vgl. auch mit https://www.mathelounge.de/118324/stetigkeit-zeigen-fur-pfade-auf-2xy-fur-x-0-0-resp-f-x-y-0-sonst

und https://www.mathelounge.de/627142/komponentenweise-stetigkeit-definitionsmenge-falls-sonst

So kommst du selbst weiter.