Stetigkeit einer Funktion mit mehreren Veränderlichen zeigen. F(x,y) = xy (x^2 - y^2)/(x^2 + y^2) ... und F(0,0) = 0.

Question

sei F eine Funktion für die gilt: $$ F(x,y)=xy \frac{x^2 - y^2}{x^2 +y^2} $$  für $$ (x,y)  \neq (0,0) $$ und für $$ (x,y)=(0,0) $$ soll die Funktion den Wert $$ (0,0) $$ annehmen.

1 Aufgabe )

Ist F stetig

2 Aufgabe )

Ist F zwei mal partiell differenzierbar

Mein Ansatz:

zu 1)

Ich habe den kritischen Punkt $$ (x,y)=(0,0)$$ betrachtet  und gezeigt dass F für x,y -> 0 gleich 0 ist. Wie kann ich jetzt argumentativ zeigen, dass F für alle $$ (x,y)  \neq (0,0) $$ stetig ist?

Ich muss hier keinen streng Mathematischenbeweis führen.

zu 2)

Hier muss ich ebenfalls argumentieren, weiß aber leider  nicht wie.

Answer 1

F ist für alle (x,y) ≠ (0,0) stetig, weil es der Quotient aus zwei stetigen Funktionen ist, bei dem der Nenner ≠ 0 ist.

Comments

Danke.

Weist du auch zufällig wie ich bei der zweimal partiellen Differenzierbarkeit argumentieren kann?

Ich habe hier ebenfalls die einfachen,doppel partiellen Ableitungen im 0 Punkt bestimmt. Weiß aber nicht wie ich bei den anderen Punkten $$ \mathbb R ^2 / \{0\} $$ argumentieren soll.

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F ist für alle (x,y) ≠ (0,0) zwei mal partiell differenzierbar, weil es der Quotient aus zwei zwei mal partiell differenzierbaren Funktionen ist, bei dem der Nenner ≠ 0 ist.

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Gerne. Die ganzen Ableitungsregeln wie Summenregel, Produktregel, Kettenregel etc sagen nicht nur aus, wie die Ableitung berechnet wird falls sie existiert. Sie garantieren auch, dass die Ableitung tatsächlich existiert, wenn die Summanden, Faktoren, komponierten Funktionen etc. differenzierbar sind.