Kann mir da jemand mit einem Lösungsweg helfen?...
Ich weiß nicht, wie ich die Aufgabe angehen soll.
Sei a ∈ [0, π/2)
Die Matrix
$$ \mathcal{S}_{\alpha}:=\left(\begin{array}{cc} {\cos (2 \alpha)} & {\sin (2 \alpha)} \\ {\sin (2 \alpha)} & {-\cos (2 \alpha)} \end{array}\right) $$
beschreibt die Spiegelung eines Vektors \( \vec{b} \in \mathbb{R}^{2} \) an einer Spiegelachse mit der Gleichung \( y= \) \( \tan (\alpha) \cdot x . \) Die Spiegelachse ist also eine Ursprungsgerade im \( \mathbb{R}^{2} \) mit Steigungswinkel
(a) Geben Sie \( \mathcal{S}_{\pi / 4} \) und die zu \( \pi / 4 \) gehörige Spiegelachse an. Tragen Sie im \( \mathbb{R}^{2} \) die Spiegelachse und die Punkte \( (0,0),(2,0),(2,-2) \) ein und verbinden Sie diese Punkte. Berechnen Sie die Koordinaten der gespiegelten Punkte durch Anwenden (Linksmultiplikation an die Ortsvektoren) von \( \mathcal{S}_{x / 4} \) und verbinden Sie die drei so erhaltenen Bildpunkte. Verifizieren Sie so, dass \( \mathcal{S}_{\alpha} \) tatsächlich eine Spiegelung beschreibt.
(b) Zeigen Sie, dass \( \mathcal{S}_{\alpha} \) für jedes \( \alpha \in[0, \pi / 2) \) orthogonal ist und geben Sie \( \mathcal{S}_{\alpha}^{-1} \) an. Beschreiben Sie die geometrische Wirkung von \( \mathcal{S}_{\alpha}^{-1} \) anschaulich.
