Abbildungsmatrix: Spiegelung an Gerade

Question

Aufgabe:

Es ist zu zeigen dass die Abbildungsmatrix S(a) der Spiegelung an g: y=ax sich wie folgt darstellen lässt:

S[a]=$\frac{1}{1+a^{2}}$ $\begin{pmatrix} 1-a^{2} & 2a \\ 2a & a^{2}-1 \end{pmatrix}$

Die gesamte Abbildung ist s(x)=S[a]*$\vec{x}$

Problem:

2 Schritte sind mir nicht ganz klar:

Die gerade g: y=ax lässt sich als  $(1,a)^{T}$ darstelle, die senkrechte n darauf müsste doch dann $(-a,1)^{T}$ sein, oder?

Laut Lösung ist es aber: $\vec{n}$ =  $\frac{1}{\sqrt{1+a^{2}} }$  * $(-a,1)^{T}$. Warum der Vorfaktor?

Der Abstand von Punkt P zu d sei: d=d(P;g)

g:  $\vec{n}$*  ($\vec{x}$  - $\vec{0}$ ) = 0  -> n*x=0 Das sagt doch nur dass n senkrecht auf g steht oder? Aber warum ist der Abstand dann direkt d=($\vec{n}$ * $\vec{x}$ )

$\vec{0P⁻}$ = $\vec{0P}$ + $\vec{PP⁻}$ Da werden nur die Vektoren addiert, allerdings macht der nächste schritt nicht ganz so viel Sinn..

s(x)=$\vec{0P}$ + $\vec{PP⁻}$

s(x)=$\vec{x}$ - 2($\vec{n}$ * $\vec{x}$ ) * $\vec{n}$   Wie komm ich hier drauf dass d subtrahiert wird, und wieso wird es mit n am schluss nochmal multipiziert? Meine Lösung wäre s(x)= $\vec{x}$ + 2($\vec{n}$ * $\vec{x}$ )

Dankeschön für jede Erklärung

Comments

Hier sollte Deine Frage beantwortet sein. Insbesondere der Teil im 'Nachtrag' meiner Antwort.

Answer 1

Hallo

1. n soll der Einheitsvektor senkrecht zur Geraden sein, dann ist die hessische Normalform der Geraden im Abstand d vomNullpunkt n*x=d

n*x=0 ist die Koordinatengleichung einer Geraden durch den Nullpunkt

2. dein s(x) ist Vektor + Zahl was soll das bedeuten?

PP^- ist doch ein Vektor in Richtung n

Gruß lul

Comments

2. Dann hab ich die falsche Schreibweiße verwendet. Gemeint ist dass der Vektor OP + Vektor PP⁻ den Vektor OP⁻ ergeben. und OP⁻ ist s(x).

---

Hallo

nein, das hatte ich schon verstanden, aber welche Richtung hat denn PP^-, das ist doch keine Zahl 2<n,x> wie du schriebst?

---

PP⁻ ist ja der Vektor des Urbildpunktes zum Bildpunkt. Und 2*d = 2 * (n*d)=PP⁻

Meinst du das mit Richtung?

Wird am ende nur mit n multipliziert da es sowieso ein Einheitsvektor ist und dann quasi *1 ist? Könnte man dann *n nicht weg lassen?

---

Nochmal : du kannst zu einem Vektor nur einen Vektor addieren, du hat ein Skalarprodukt also eine reelle Zahl addiert. Zahl*Einheitsvektor ist ein Vektor! Geraden in parameterform werden immer geschrieben als Stützpunkt + Richtungswektor

lul