Funktionsänderung mit Hilfe des totalen Differentials bestimmen

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die Funktion:

$f\left(x_{1}, x_{2}\right)=-6+3 x_{1}^{4}-3 x_{2}^{3}-6 x_{1}^{2} x_{2}^{3}+4 x_{1}^{2}$

Wie stark ändert sich die Funktion an der Stelle $a=(2,2.8),$, wenn das este Argument $1.9$ steigt und das zweite Argument um $1.9$ sinkt? Berechnen Sie die dadurch hervorgerufene Funktionsänderung mit Hilfe des totalen Differentials.

Problem/Ansatz:

$$\begin{array}{l} { f(x_1, x_2) =-6+3 x_{1}^{4}-3 x_{2}^{3}-6 x_{1}^{6} x_{2}^{3}+4 x_{1}^{4}} \\ f^{\prime}(x_1) = {12 x_{1}-3 x_{2}^{3}-36 x_{1}^{5} \cdot x_{2}^{3}+16 x_{1}} \end{array}$$

$f^{\prime}\left(x_{2}\right)=3 x_{1}^{4}-9 x_{2}^{2}-18 x_{1}^{6} x_{2}^{2}+4 x_{1}^{4}$
$f^{\prime}(2,2,8)=12 \cdot 2-3 \cdot 2,8^{3}-36 \cdot 2^{5} \cdot 2,8^{3}+16 \cdot 2 =-25298,56$
$f(2,2,8) = 3 \cdot 2^{4}-9 \cdot 2,8^{2} \cdot 18 \cdot 2^{6} \cdot 2,8^{2}+4 \cdot 2^{4} =-8990,24$

$$\begin{aligned} -25298,56 \cdot & 1,9+(-8990,24 \cdot(-1,9)=\\ =&-30985,808 \\ & \approx 30985,81 \end{aligned}$$

Stimmt das so?

Answer 1

die part. Ableitungen lauten:

fx₁=12 x₁³ -36 x₂³ x₁⁵+16x₁³

fx₂=-9 x₂²-18x₁⁶ x₂²