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Wisst ihr, wie man die Aufgaben b, c und d löst? Könnt ihr mir bitte helfen?


Aufgabe:

Für xR x \in \mathbb{R} betrachten wir.
Sn(x)=k=0nxkk!,sn(x)=(1+xn)n S_{n}(x)=\sum \limits_{k=0}^{n} \frac{x^{k}}{k !}, \quad s_{n}(x)=\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n}
Es sei kN k \in \mathbb{N} mit 0kn 0 \leq k \leq n und
cnk=(11n)(12n)(1k1n) c_{n}^{k}=\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right) \cdots \cdot\left(1-\frac{k-1}{n}\right)
(a) Zeigen Sie lim cnk=1. c_{n}^{k}=1 . Verwenden Sie dazu zum Beispiel die Bernoulli'sche Ungleichung.



(b) Zeigen Sie

Sn(x)sn(x)k=2n(1cnk)xkk! \left|S_{n}(x)-s_{n}(x)\right| \leq \sum \limits_{k=2}^{n}\left(1-c_{n}^{k}\right) \frac{|x|^{k}}{k !}
Verwenden Sie dazu zum Beispiel den Binomischen Lehrsatz.



(c) Zeigen Sie, dass es zu jedem ϵ>0 \epsilon>0 ein mN m \in \mathbb{N} gibt, so dass für alle nm n \geq m gilt:
Sn(x)sn(x)k=2m(1cnk)xkk!+ϵ \left|S_{n}(x)-s_{n}(x)\right| \leq \sum \limits_{k=2}^{m}\left(1-c_{n}^{k}\right) \frac{|x|^{k}}{k !}+\epsilon

(d) Zeigen Sie dass es ein n0N n_{0} \in \mathbb{N} gibt, so dass
Sn(x)sn(x)2ϵ \left|S_{n}(x)-s_{n}(x)\right| \leq 2 \epsilon
für alle nn0 n \geq n_{0}

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Könnt ihr mir bei Aufgabe b helfen?

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Hi,

sn(x)=(1+xn)n=k=0n(nk)(xn)k s_n(x) = \left( 1 + \frac{x}{n} \right)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \left( \frac{x}{n} \right)^k Damit folgt

Sn(x)sn(x)=k=0nxkk!(1n!nk(nk)!) S_n(x) - s_n(x) = \sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!} \left( 1 - \frac{n!}{ n^k (n-k)!} \right) und weil cnk=n!nk(nk)! c_n^k = \frac{n!}{ n^k (n-k)!} gilt, folgt

Sn(x)sn(x)=k=2nxkk!(1cnk) S_n(x) - s_n(x) = \sum_{k=2}^n \frac{x^k}{k!} \left( 1 - c_n^k \right) wegen  c0k=c1k=1 c_0^k = c_1^k = 1 und mit der Dreiecksungleichung folgt Aussage (b).

Anmerkung:

n!nk(nk)!=(nk+1)(n1)nnn=(1k1n)(11n) \frac{n!}{ n^k (n-k)!} = \frac{ (n-k+1) \cdots (n-1) n }{n \cdots n} = \left(1-\frac{k-1}{n} \right) \cdots \left(1 - \frac{1}{n} \right)

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Vielen Dank! Weißt du auch, wie (d) geht?

Oder mir einen Tipp geben? Ich glaube Aufgabe (d) hat etwas mit dem Cauchy-Kriterium zu... aber so ganz habe ich es noch nicht geschafft

Ich versuchs mal. Ausgangssituation ist

Sn(x)sn(x)k=2m(1cnk)xkk!+ϵ | S_n(x) - s_n(x) | \le \sum_{k=2}^m (1-c_n^k) \frac{ |x|^k}{k!} + \epsilon und jetzt soll für den Ausdruck k=2m(1cnk)xkk!ϵ \sum_{k=2}^m (1-c_n^k) \frac{ |x|^k}{k!} \le \epsilon gelten, wenn nN n \in \mathbb{N} groß genug ist.

Den Ausdruck 1cnk 1 - c_n^k kann man schreiben als

1cnk=1i=1k1(1in) 1 - c_n^k = 1 - \prod_{i=1}^{k-1} \left(1 - \frac{i}{n} \right) Die verallgemeinerte Bernoullische Ungleichung besagt

i=1k1(1in)1i=1k1in=11nk(k1)2 \prod_{i=1}^{k-1} \left(1 - \frac{i}{n} \right) \ge 1 - \sum_{i=1}^{k-1} \frac{i}{n} = 1 - \frac{1}{n} \frac{ k (k-1)}{2} also folgt

k=2m(1cnk)xkk!1nk=2mk(k1)2xkk! \sum_{k=2}^m (1-c_n^k) \frac{ |x|^k}{k!} \le \frac{1}{n} \sum_{k=2}^{m} \frac{ k (k-1)}{2} \frac{ |x|^k}{k!} und der Ausdruck auf der rechten Seite ist beliebig klein für festes x x , falls nN n \in \mathbb{N} groß genug.

Also gilt k=2m(1cnk)xkk!ϵ \sum_{k=2}^m (1-c_n^k) \frac{ |x|^k}{k!} \le \epsilon

Wow!!! Vielen Dank, habe es jetzt endlich verstanden :)

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