Wisst ihr, wie man die Aufgaben b, c und d löst? Könnt ihr mir bitte helfen?
Aufgabe:
Für x∈R betrachten wir.
Sn(x)=k=0∑nk!xk,sn(x)=(1+nx)n
Es sei k∈N mit 0≤k≤n und
cnk=(1−n1)(1−n2)⋯⋅(1−nk−1)
(a) Zeigen Sie lim cnk=1. Verwenden Sie dazu zum Beispiel die Bernoulli'sche Ungleichung.
(b) Zeigen Sie
∣Sn(x)−sn(x)∣≤k=2∑n(1−cnk)k!∣x∣k
Verwenden Sie dazu zum Beispiel den Binomischen Lehrsatz.
(c) Zeigen Sie, dass es zu jedem ϵ>0 ein m∈N gibt, so dass für alle n≥m gilt:
∣Sn(x)−sn(x)∣≤k=2∑m(1−cnk)k!∣x∣k+ϵ
(d) Zeigen Sie dass es ein n0∈N gibt, so dass
∣Sn(x)−sn(x)∣≤2ϵ
für alle n≥n0