Grenzwert der Funktion für x gegen 0 existiert, f ist beschränkt und andere Aussagen zeigen oder widerlegen

Question

ich brauche eure Hilfe bei folgender Aufgabe.

Aufgabe:

Es seien \( f, g:[0,1] \rightarrow \mathbb{R} \) Funktionen. Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen.

(a) \( \lim \limits_{x \rightarrow 0}(f(x))^{2} \) existiert \( \Rightarrow \lim \limits_{x \rightarrow 0} f(x) \) existiert.

(b) \( f \) ist beschränkt und \( \lim \limits_{x \rightarrow 0} g(x)=0 \quad \Rightarrow \quad \lim \limits_{x \rightarrow 0}(f(x) g(x))=0 \)

(c) \( \lim \limits_{x \rightarrow 0}(f(x) g(x)) \) und \( \lim \limits_{x \rightarrow 0}(f(x)+g(x)) \) existieren \( \Rightarrow \lim \limits_{x \rightarrow 0}(f(x)-g(x))^{2} \) existiert.

LG

Answer 1

(a) f(x) =     1, falls x∈ℚ

                {

                  -1 falls x∈ℝ\ℚ

     dann ex der Grenzwert von f(x) nicht, da 2 Häufungspunkte

    aber f²(x)=1 für x∈ℝ konvergiert

(b) \( \lim\limits_{x\to0} \) g(x) = 0, also gibt es zu jedem ε>0 eine Umgebung um 0 mit   I g(x) I < ε für alle x∈Umgebung.

f ist beschränkt, also I f(x) I < S, Schranke.

Also I f(x)g(x) I < S*ε. Also lässt sich eine Umgeb₂ um 0 finden, so dass zu jedem ε'>0 alle x∈Umgeb₂ sind. Wähle dazu ε=ε'/S.

Comments

Vielen Dank Helmus. Weißt du vielleicht auch wie c) geht oder hast einen Ansatz für?

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Was ist denn Umgeb₂?? Bitte um schnelle Antwort.

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Umgebung = ε-Umgebung

Umgeb2= ε'-Umgebung= noch kleiner Umgebung

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Danke für die Rückmeldung.

Answer 2

Weißt du vielleicht auch wie c) geht oder hast einen Ansatz für?

Wenn \(\displaystyle\lim_{x\to0}\big(f(x)+g(x)\big)\) existiert, dann existiert auch \(\displaystyle\lim_{x\to0}\big(f(x)+g(x)\big)^2\).
Wenn \(\displaystyle\lim_{x\to0}\big(f(x)g(x)\big)\) existiert, dann existiert auch \(\displaystyle\lim_{x\to0}\big(4f(x)g(x)\big)\).
Also existiert auch \(\displaystyle\lim_{x\to0}\Big(\big(f(x)+g(x)\big)^2-4f(x)g(x)\Big)\).

Comments

Danke dir vielmals