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Aufgabe:

Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente, die die Parabel \( f(x)=2 x^{2}+4 x-2 \) an der Stelle \( x=2 \) berührt.



Problem/Ansatz:

Ich habe hier wirklich keine Ahnung wie ich diese Aufgabe lösen kann.

Ich wäre dankbar wenn mir hier jemand helfen könnte.

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Hallo,

eine Tangente ist eine Gerade mit der allgemeinen Gleichung

f(x) = mx + b

m ist die Steigung, die du mit der 1. Ableitung - f'(2) - berechnest. Anschließend setzt du die Koordinaten des Punktes (2|f(2)) in die Gleichung ein, um b zu ermitteln.

Kommst du damit weiter?

Gruß, Silvia

Avatar von 40 k

Also f´(2): 4x+4 also 4*2+4=12

Und f(2)=12x+b

->f(2)=12*2+b

->b=-22?


Also wäre die Gleichung der Tangente y=12x-22 ?

Sorry das ist schon zu lange her, dass ich das in der Schule gemacht habe.

4*2 + 4 = 12, nicht 10...

4*2 + 4 = 12 (sooo lange ist die Schule doch noch nicht her, oder ;-))

Den Funktionswert berechnest du, indem du für x die 2 in die Ausgangsgleichung einsetzt:

$$f(2)=2\cdot 2^2+4\cdot 2 -2 = 14 $$

14 = 12*2 +b ⇒

b = -10

t(x) = 12x - 10

4*2+4=12 sollte man noch hinbekommen :)

Ok das verstehe ich, wozu wäre denn jetzt nochmal die erste Ableitung gut in dieser Aufgabe?

f(x)=2x2+4x−2

f´(x)=4x+4 ?

Siehe weiter oben: "Die erste Ableitung der Parabel bei x=2 ist die Steigung m der Tangente."

Ableitung = Steigung der Tangente an dieser Stelle

f'(2) = 12 = m

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Die erste Ableitung der Parabel bei x=2 ist die Steigung m der Tangente.

Zudem gilt für die Geradengleichung der Tangente y = mx + q, dass man x=2 und y=f(2) einsetzen kann.

Dann hast du ein lineares Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 2 Unbekannten m und q. Das löst du, und dann hast du die Geradengleichung der Tangente.

Avatar von 43 k

So schaut der Plot aus:

Unbenannt.PNG

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Wayne, deine Fragen wirken in ihrer Gesamtheit ein wenig desorientiert ("wirklich keine Ahnung"), vielleicht lieferst du noch Schulart, Stufe und Stoffzusammenhang nach.

Zu deiner Frage:

Eine Gleichung der Tangente an den Graphen einer Funktion \(y=f(x)\) an der Berührstelle \(x_b\) lautet $$y=f'(x)\cdot (x-x_b)+f(x_b),$$ hier also $$y=f'(2)\cdot (x-2)+f(2).$$ Dies entspricht der üblichen Definition der Ableitung.

(Es gibt eigentlich keinen Grund, warum man die Tangentengleichung so bestimmen sollte, wie es in den beiden anderen Antworten gemacht worden ist.)

Avatar von 26 k

Ich mach mich zu dem Thema nochmal schlau, vielen Dank.

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