Taylorpolynom xo=0 sqrt(1+x) , Ungleichung beweisen

Question

Aufgabe:

Sei \( f(x)=\sqrt{1+x} \)
(a) Berechnen Sie das 1 -te Taylorpolynom \( T_{1} \) der Funktion \( f \) im Entwicklungspunkt \( x_{0}=0 \) sowie das zugehörige Lagrange-Restglied \( R_{1} \)
(b) Beweisen Sie für alle \( x \geq 0 \) die folgende Ungleichung mit Hilfe der Taylorformel mit Restglied. Verwenden Sie dafür Teilaufgabe a):
$$ \sqrt{1+x} \leq 1+\frac{x}{2} $$

zu a)

$$ T_{1,0}(x)=f(0)+\frac{1/(2\sqrt{0+1})}{1!}x=1+\frac{x}{2}$$

und das  Restglied

$$R_{1}(x)=\frac{f''(ξ)}{2!}*x^2=-\frac{1}{8(ξ+1)^{3/2}}*x^2 $$

Ich hoffe das meine ergbenisse zu a) richtig sind, bei b) verstehe ich es leider gar nicht, auch nicht mit welchem Ansatz ich da üerhaupt rangehen muss.Viele dank für eure Hilfe

Comments

Eigentlich bist du doch schon fertig, denn R₁ ist immer negativ oder Null?

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Was sagt mir denn das Restglied zur Ungleichung aus? Ich verstehe den Zusammenhang zwischen der Ungeichung und dem Taylorpolynom nicht..

Und sind denn die Ergebnisse dann erstmal richtig? danke

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**verbesserung

 $$ R_{1}(x)=\frac{f''(ξ)}{2!}*x^2=-\frac{1}{8(ξ+1)^{3/2}}*x^2 $$

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Es gilt doch f(x) = T₁(x) + R₁(x) und R₁(x) ≤ 0.

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Habe die Verbesserung des Fragestellers in die Aufgabenstellung integriert.

Answer 1

Hallo,

\(f(x) =\color{blue}{\sqrt{1+x}}= T_{1,0}(x) + R_1(x) = 1+\dfrac{x}{2}+ \color{green}{\dfrac{-1}{8(ξ+1)^{3/2}}·x^2} \color{blue}{≤ 1 +\dfrac{x}{2}} \)

denn für x≥0  gilt   R₁(x) ≤ 0   für ξ ∈ [0 ; x]

Gruß Wolfgang

Comments

 Dankeschön !

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immer wieder gern :-)