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wie funktioniert das?
$$ x:=\left(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \end{array}\right) \mapsto f(x):=\left(\begin{array}{l} x_{1}+x_{2} \\ x_{1}-x_{2} \\ x_{2}-x_{1} \end{array}\right) $$
gegeben ist. Für \( \mathbb{R}^{2} \) betrachten wir die beiden Basen
\( E_{2}:=\left\{\left(\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}0 \\ 1\end{array}\right)\right\} \)

$$ B:=\left\{\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \end{array}\right)\right\} $$
und für \( \mathbb{R}^{3} \) betrachten wir die beiden Basen

\( E_{3}:=\left\{\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)\right\} \)
$$ C:=\left\{\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)\right\} $$

a) Bestimmen Sie die Darstellungsmatrizen \( F_{E_{3}}^{E_{2}}(f), F_{E_{3}}^{B}(f), F_{C}^{E_{2}}(f) \) und \( F_{C}^{B}(f) \)

b) Überprüfen Sie das am Vektor ( 3  4)T, ob diese durch alle Darstellungsmatrizen auf dem selben Bildvektor f(v) abgebildet ist.

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Aloha :)

Achte bitte im Folgenden darauf, wie die Matrizen miteinander verknüft werden. Was unten aus der rechten Matrix rausfällt, passt oben in die linke Matrix hinein, weil die Basen gleich sind.$$f(x)=\left(\begin{array}{c}x_1+x_2\\x_1-x_2\\x_2-x_1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}1 & 1\\1 & -1\\-1 & 1\end{array}\right)\binom{x_1}{x_2}\quad\Rightarrow\quad F^{E_2}_{E_3}=\left(\begin{array}{r}1 & 1\\1 & -1\\-1 & 1\end{array}\right)$$

$$F^B_{E_3}=F^{E_2}_{E_3}\cdot id_{E_2}^B=\left(\begin{array}{r}1 & 1\\1 & -1\\-1 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{r}1 & 1\\0 & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}1 & 2\\1 & 0\\-1 & 0\end{array}\right)$$

$$F^{E_2}_C=id^{E_3}_C\cdot F^{E_2}_{E_3}=(id^C_{E_3})^{-1} \cdot F^{E_2}_{E_3}=\left(\begin{array}{r}1 & 1 & 1\\0 & 1 & 1\\0 & 0 & 1\end{array}\right)^{-1}\left(\begin{array}{r}1 & 1\\1 & -1\\-1 & 1\end{array}\right)$$$$\phantom{F^{E_2}_C}=\left(\begin{array}{r}0 & 2\\2 & -2\\-1 & 1\end{array}\right)$$

$$F^B_C=id_C^{E_3}\cdot F^B_{E_3}=(id^C_{E_3})^{-1}\cdot F^{B}_{E_3}=\left(\begin{array}{r}1 & 1 & 1\\0 & 1 & 1\\0 & 0 & 1\end{array}\right)^{-1}\left(\begin{array}{r}1 & 2\\1 & 0\\-1 & 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}0 & 2\\2 & 0\\-1 & 0\end{array}\right)$$

In Teil b) sollen die Matrizen anhand des Vektors \((3|4)^T\) überprüft werden. Dazu müssen wir uns überlegen, wie dieser Eingangsvektor bezüglich der Basis \(B\) aussieht. Dazu stellen wir ihn mit den Basisvektoren von \(B\) dar:$$\binom{3}{4}_{E_2}=-1\cdot\binom{1}{0}+4\cdot\binom{1}{1}=\binom{-1}{4}_B$$Das Ergebnis der Abbildung bezüglich der Basis \(E_3\) lautet:$$F_{E_3}^{E_2}\cdot\binom{3}{4}_{E_2}=F^{E_2}_{E_3}=\left(\begin{array}{r}1 & 1\\1 & -1\\-1 & 1\end{array}\right)\binom{3}{4}_{E_2}=\left(\begin{array}{c}7\\-1\\1\end{array}\right)_{E_3}$$Dieses Ergebnis können wir auch mit Koordinaten bezüglich der Basis \(C\) darstellen:$$\left(\begin{array}{c}7\\-1\\1\end{array}\right)_{E_3}=8\left(\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}\right)-2\left(\begin{array}{c}1\\1\\0\end{array}\right)+1\cdot\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8\\-2\\1\end{array}\right)_C$$Nun prüfen wir die oben berechneten Matrizen durch:

$$F^B_{E_3}\binom{-1}{4}_B=\left(\begin{array}{r}1 & 2\\1 & 0\\-1 & 0\end{array}\right)\binom{-1}{4}_B=\left(\begin{array}{r}7\\-1\\1\end{array}\right)_{E_3}\quad\checkmark$$

$$F_C^{E_2}\binom{3}{4}_{E_2}=\left(\begin{array}{r}0 & 2\\2 & -2\\-1 & 1\end{array}\right)\binom{3}{4}_{E_2}=\left(\begin{array}{r}8\\-2\\1\end{array}\right)_C\quad\checkmark$$

$$F_C^B\binom{-1}{4}_B=\left(\begin{array}{r}0 & 2\\2 & 0\\-1 & 0\end{array}\right)\binom{-1}{4}_B=\left(\begin{array}{r}8\\-2\\1\end{array}\right)_C\quad\checkmark$$

Avatar von 148 k 🚀

hallo,

danke dir!

weisst du wie ich b) löse ?

Ich habe meine Antwort um den Aufgabenteil b) ergänzt.

Sorry, das hatte ich irgendwie übersehen...

Hallo, Tschakabumba!

Ich bin grad am verzweifeln, weil mir niemand bei der Aufgabe hilft :/ https://www.mathelounge.de/717425/darstellungsmatrix-bestimmen

du kannst es dir anschauen, wenn du magst.

Aloha mathslooser ;)

Ich habe mir die Aufgabe angeschaut und ein bisschen was dazu geschrieben ;)

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Hallo

 in den Spalten der Matrix stehen die Bilder der Basisvektoren, die ja einfach zu finden sind, (die Bilder müssen als Linearkomb. der Basis des Bildes geschrieben werden)

 Gruß lul

Avatar von 106 k 🚀

Wie mach ich das bei b)?

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FE2E3 =      1     1
                   1   -1
                  -1    1

FBE3 =       1      2
                  1      0
                 -1      0

Für FE2C muss man ja die Bilder der Vektoren von E2 durch die von C darstellen

Wenn man die von C mal u,v,w nennt hat man

f (  1  )                   1
  (   0 )         =       1        =   0*u + 2*v -1*w
                             -1

also ist die erste Spalte der Matrix

0
2
-1

und f( 0 )               1
        (1 )     =        -1       =   2*u  -2v   + 1*w 
                             1

Also ist die Matrix

0      2
2      -2
-1      1               etc.

Avatar von 287 k 🚀

Hallo, danke dir!

Kannst du mir den Zwischenschritt geben, wie du die 1. Darstellungsmatrix bestimmt hast, damit ich es nachvollziehen kann

Die Spalten der Matrix sind die Bilder der Basisvektoren von E2 .

Genauer:  Sind die Zahlen, die man benutzen muss um diese

Bilder mit der Basis des Zielraumes darzustellen.

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