Konvergenz beweisen? Wie groß soll ich immer das Epsillon wählen.

Question

Aufgabe:

. Ich habe im informatik studium grade in mathe Aufgaben, wo ich konvergenz von folgen beweisen soll und den grenzwert finden muss. Den grenzwert zu finden, ist ja sehr einfach. Nur leider verstehe ich die beweisstruktur bei der konvergenz mit dem epsillon Kriterium nicht ganz. Wie groß soll ich immer das epsillon wählen. Oder wie fange ich an, wenn ich weiß, dass eine Reihe gegen 3 konvergiert?

Comments

Oder wie fange ich an, wenn ich weiß, dass eine Reihe gegen 3 konvergiert?

Meinst du eine Folge oder eine Reihe?

Da musst du verschieden ansetzen.

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Lu, warst du das mit dem Duplikat ?

https://www.chemielounge.de/4748/stoffmengenkonzentration-an-nh4-ionen-in-mol-l

Dort hatte ich bereits schon mindestens 3/4 meiner langen Antwort getippt und jetzt ist der ganze, wirklich der ganze Text einfach nicht mehr auffindbar. Das ist mehr als ärgerlich.

Answer 1

Um zu zeigen dass eine Folge konvergiert muss du zeigen, dass es möglich ist ein n ∈ ℕ zu wählen für das gilt

a_n - a < ε

Beispiel :

\( \lim\limits_{n\to\infty} \) \( \frac{1}{n} \) = 0

also:

(a_n - a) = (\( \frac{1}{n} \)-0) = \( \frac{1}{n} \) < ε

nach n auflösen gibt

n > \( \frac{1}{ε} \)

Die Bedingung (a_n - a) < ε impliziert somit n > \( \frac{1}{ε} \)

Für n > \( \frac{1}{ε} \) gilt somit

(\( \frac{1}{n} \)-0) < ε

Was genau der Definition \( \lim\limits_{n\to\infty} \) \( \frac{1}{n} \) = 0 entspricht

Comments

Okay danke. Und wie gehe ich vor, wenn ich beweisen soll, dass eine reihe lediglich konvergiert?

2.Wie gehe ich vor, wenn ich zeigen soll, wenn an und bn konvergieren, dann auch an+bn usw?

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Zu deiner ersten Frage:
Um zu zeigen, dass eine Reihe konvergiert kannst du die ε-Definition brauchen.

Die definition sagt;
Eine folge konvergiert gegen a∈ℝ, falls für jede beliebig klein gewählte Zahl ε > 0 (z.B. ε=10¹⁰ oder ε = 0.000345) eine von ε abhängig grosse Zahl N derart existiert, dass alle Folgeglieder a_n mit n≥N in dem Streifen (a-ε,a+ε) liegen.

Was du tun musst ist also so ein N zu finden. Das kannst du machen wie im ersten Beispiel.

Zu der zweiten Frage;

Der Limes Operator ist distributiv das heisst

\( \lim\limits_{n\to\infty} \) (a_n+b_n)  =  \( \lim\limits_{n\to\infty} \) (a_n) + \( \lim\limits_{n\to\infty} \) (b_n) = a+b

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(ε=10^-10 nicht ε=10^10)