Wahrscheinlichkeit Motoren Normalverteilung

Question

Aufgabe:

Ein Werk produziert Motoren, welche mit einer Wahrscheinlichkeit von rund 10 % defekt sind. Es beliefert einen Kunden mit 100 Motoren.
a) Der Kunde benötigt min. 85 funktionstüchtige Motoren. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird diese Forderung erfüllt?
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält der Kunde genau 87 funktionstüchtige Motoren?

Lösungsansatz:

Die Lösung wäre:

a:X∼N(90,3), P(X≥85)=0.9664

b:X∼N(90,3), P(X=87)=0.0823

Ich komme leider nicht weiter...Vor allem stellt sich mir die Frage, wie ich auf diese 3 bei der Standardabweichung kommen soll. Über Lösungswege wäre ich sehr dankbar! Vielen, vielen Dank.

Answer 1

a) Der Kunde benötigt min. 85 funktionstüchtige Motoren. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird diese Forderung erfüllt?

Binomialverteilung
P(X ≥ 85) = ∑(COMB(100, x)·0.9^x·0.1^(100 - x), x, 85, 100) = 0.9601

Näherung über Normalverteilung
μ = n·p = 100·0.9 = 90
σ = √(n·p·(1 - p)) = √(100·0.9·(1 - 0.9)) = 3

P(X ≥ 85) = 1 - Φ((84.5 - 90)/3) = 1 - Φ(-1.83) = 1 - Φ(-1.83) = 1 - 0.0336 = 0.9664

b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält der Kunde genau 87 funktionstüchtige Motoren?

Binomialverteilung
P(X = 87) = COMB(100, 87)·0.9^87·0.1^(100 - 87) = 0.0743

Näherung über Normalverteilung
P(X = 87) = Φ((87.5 - 90)/3) - Φ((86.5 - 90)/3) = Φ(-0.83) - Φ(-1.17) = 0.2033 - 0.1210 = 0.0823