Vollständige Induktion Matrix

Question

Aufgabe:

Sei n ∈ N und a, b ∈ R. Beweis durch vollständige Induktion.

\( \begin{pmatrix} 1 & 0 & a \\ 0 & 1 & b  \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}^n \) = \( \begin{pmatrix} 1 & 0 & n*a \\ 0 & 1 & n*b  \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)

Problem/Ansatz:

Induktionsanfang,Induktionsvoraussetzung, Induktionsschluss.

Mein Induktionsanfang wäre n = 1.

Induktionsvoraussetzung: n+1?

Answer 1

Natürlich erfolgt der Induktionsanfang mit n=1. Im eigentlichen Beweis musst du dann zeigen, dass \(\begin{pmatrix} 1 & 0 & n*a \\ 0 & 1 & n*b  \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1 & 0 & a \\ 0 & 1 & b  \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & (n+1)*a \\ 0 & 1 & (n+1)*b  \\ 0& 0 & 1 \end{pmatrix}\) ist.

Comments

Danke @abakus. Das "?" war falsch gesetzt, ich habe noch Probleme mit Induktionen. Wie beweise ich den eigentlichen Beweis Schritt (n+1)..

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Führe die Matrizenmultiplikation der linken Seite aus.

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Ich erhalte folgendes raus, stimmt dass so?

\( \begin{pmatrix} 1 & 0 & n*a  \\ 0 & 1 & n*b \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \) * \( \begin{pmatrix} 1 & 0 & a  \\ 0 & 1 & b \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 1 & 0 & a+a*n  \\ 0 & 1 & b+b*n \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)

Und ist das folgend mein Induktionsschluss oder muss ich noch diesen Schritt für (n+1)*a und (n+1)*b ausführen?

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Du musst zeigen, dass dein Ergebnis mit der rechten Seite meiner Matrixgleichung übereinstimmt.