Habe ich Dimension und Basis richtig ermittelt?

Question

Aufgabe:

Ermitteln Sie die Dimension und eine Basis von U.

a=(1,0,1,2)

b=(2,0,3,-1)

c=(2,0,3,2)

d=(3,0,6,3)

Problem/Ansatz:

Stimmt das so wie ich gemacht habe oder hat es eine andere Dimension?

Answer 1

Aloha :)

Wenn du die Vektoren als Zeilen in eine Matrix schreibst und diese mit elementaren Zeilenumformungen auf Dreiecksform bringst, erhältst du:$$\left(\begin{array}{c}1 & 0 & 1 & 2\\2 & 0 & 3 & -1\\2 & 0 & 3 & 2\\3& 0 & 6 & 3\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{c}1 & 0 & 1 & 2\\0 & 0 & 1 & -5\\0 & 0 & 0 & 3\\0& 0 & 0 & 0\end{array}\right)$$Wegen der unteren Nullzeile ist die Dimension von $U$ gleich $3$. Du erkennst auch, dass die zweite Komponenten immer Null ist. Deine Basis ist daher auch korrekt.