Untersuchen Sie, ob es die folgenden Abbildungen injektiv bzw. surjektiv sind.

Question

g2 : N × N → N ,(n, m) → 1 + (n − m)²

Danke im Vorraus

Answer 1

Aloha :)

Injektiv bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge höchstens 1-mal erreicht wird. Wir betrachten:$$g(1,2)=1+(1-2)^2=2\quad;\quad g(2,1)=1+(2-1)^2=2$$Die Funktion ist nicht injektiv, weil es wenigstens ein Element der Zielmenge gibt, das 2-mal erreicht wird.

Surjektiv bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge mindestens 1-mal erreicht wird. Wir pürfen, ob das Element \(4\) der Zielmenge durch ein Tupel \((n,m)\) erreicht werden kann:$$g(n,m)=4\;\;\Leftrightarrow\;\;1+(n-m)^2=4\;\;\Leftrightarrow\;\;(n-m)^2=3\;\;\Leftrightarrow\;\;n-m=\pm\sqrt3$$Da \(n,m\in\mathbb{N}\) sein müssen, ist ihre Differenz eine ganze Zahl \(\in\mathbb{Z}\). Daher wird das Element \(4\) der Zielmenge nicht erreicht. Die Funktion ist nicht surjektiv.

Comments

Vielen Dank dafür! Hat mir sehr geholfen.:)