Question

Untersuchen Sie die folgenden Abbildungen, ob sie injektiv, surjektiv oder bijektiv sind.
a) f : IN0 → Z mit f(x) = 3x^4

b) f : IN → IR mit f(x) = +√x + 1

c) f : IR → IR mit f(x) = −x^3 − 2

d) f : IR → IR mit f(x) = (x + 1)^2 − 4

Answer 1

a) injektiv ja, denn 3a^4 = 3b^4 ==>  a^4=b^4 und

 weil a,b nicht negativ sind, also a=b

  surjektiv nicht; denn z.B. 3x^4 = -1 gilt für kein x∈ℕo

b) injektiv ja, denn √a + 1=√b + 1 ==> √a =√b ==> a=b

surjektiv nicht, denn √x + 1=0,5 ==> √x = -0,5 gilt für kein x∈ℕ

c) injektic ja, denn −a³ − 2=−b³ − 2

          ==>  a³ =b³  ==>  a=b

und auch surjektiv, denn sei z∈ℝ dann gibt es immer x∈ℝ mit −x³ − 2=z

       nämlich -x^3 = z+2  ==>   x^3 = -z-2

und für -z-2≥0 ist x dann die 3. Wurzel aus  -z-2

und wenn -z-2<0 dann ist x -1*  3. Wurzel aus -z-2

d)  weder inj. noch surj.

denn z.B. f(0)=f(-2) und z.B.   (x + 1)² − 4 = -6 für kein x∈ℝ erfüllt.

Comments

Grundlagen-Aufgaben zu lösen ist eine denkbar schlechte Idee. Man MUSS sich mit den Dingen befassen, sonst lernt man es nie. Bei der nächsten Aufgabe weiß der FS immer noch nicht, was die Begriffe bedeuten und wie man das zeigt.

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denn sei z∈ℝ dann gibt es immer z∈ℝ mit −x3 − 2=z

die Formulierung erscheint mir seltsam

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Danke, ist korrigiert.