Suche Basis für den Untervektorraum W: W = <(1,0,1,0,1), (0,0,1,0,1), (0,0,0,1,0), (1,0,1,1,1), (1,0,0,1,0,)> ⊆ F5 2

Question

Aufgabe:

Sei F₂ der Körper mit zwei Elementen, und sei

W = <(1,0,1,0,1), (0,0,1,0,1), (0,0,0,1,0), (1,0,1,1,1), (1,0,0,1,0,)> ⊆ F^5₂

Bestimmen Sie eine Basis für den Untervektorraum W.

Ansatz/Problem:

Wie geht man hier vor?

Ich habe den Tipp erhalten, dass wir mit der Formel:

x₁w₁ + x₂w₂ + x₃w₃ + x₄w₄ + x₅w₅ = (0,0,0,0,0)

arbeiten müssten, um die lineare Abhängigkeit zu erklären etc.

Jetzt wäre meine Bitte, ob mir jemand das für "blutige Anfänger" erklären könnte, damit ich das verstehe und selbst errechnen bzw. erdenken kann?

Ist es richtig, wenn ich aus den obigen Werten, folgendes mache: 1a+0b+1c+0d=1 0a+0b+1c+0d=1 0a+0b+0c+1d=0 1a+0b+1c+1d=1 1a+0b+0c+1d=0 Und dann damit a, b, c, d ausrechnen?

Comments

1a+0b+1c+0d=1 0a+0b+1c+0d=1 0a+0b+0c+1d=0 1a+0b+1c+1d=1 1a+0b+0c+1d=0 Und dann damit a, b, c, d ausrechnen?

Das ist eine andere Idee, dürfte aber auch funktionieren.

Gemeint war wohl:

1a+0b+1c+0d+1e=0

0a+0b+1c+0d+1e=0

0a+0b+0c+1d=0

1a+0b+1c+1d+1e=0

1a+0b+0c+1d=0

Und dann damit a, b, c, d,e  ausrechnen?

Nun kannst du systematisch versuchen a,b,c,d,e als 1 zu setzen. Wenn du keine Widersprüche bekommst, hast du einen der Vektoren als Lin.komb. der andern dargestellt. In diesem Fall sind die Vektoren nicht lin. unabh.

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Was genau ist eigentlich F⁵ ₂?

Sollst du da möglicherweise modulo 2 rechnen?

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Ich habe es auf den letzten Drücker noch von jemand anderem erklärt bekommen und konnte die Aufgabe gerade noch bearbeiten.

scheinbar mussten wir einfach nur zwei der Vektoren addieren und schauen, ob eines der angegebenen dabei heraus kommt.

also zB. w3 + w4 = w1

dann hat man am ende eine basis, weil man die weglassen kann, die sich durch die Addition von zwei anderen ergeben.


Trotzdem danke für die Antworten.

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Entweder hat dir hier jemand Unsinn erklärt oder du es nicht richtig verstanden.

So wie du es wiedergibst ist es schlicht unverständlicher Unfug.

Der Ansatz von Lu dagegen funktioniert.

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also das, was ich am Ende geschrieben habe ist auch das, was man mir erklärt hat....

Daher habe ich das, was ich zu Beginn oben geschrieben habe, weggelassen...

Ist jetzt natürlich ärgerlich, wenn das, was man mir erklärt hat, falsch ist.

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Wie soll das gehen? Man kann doch jeden Vektor aus dem Erzeugendensystem W als

Linearkombination der anderen Vektoren dort darstellen:

w1 = w3+w4, w2 = w4+w5, w3 = w1+w4, w4 = w2+w5, w5 = w4+w2.

Oder wird für die Addtion der Linearkombination nicht die Tatsache aus dem F2-Körper verwendet, dass 1+1 = 0 ist?

Trägt man jeweils diese Vektoren dort spaltenweise in eine Matrix, sieht man doch sofort, dass die 2. Zeile die Nullzeile ist. Wie soll man das jetzt interpretieren?

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Aufstellung des Problems:

Du sollst eine Basis für den Untervektorraum $W$ finden, der durch die Vektoren $(1,0,1,0,1)$, $(0,0,1,0,1)$, $(0,0,0,1,0)$, $(1,0,1,1,1)$, und $(1,0,0,1,0)$ im Vektorraum $\mathbb{F}^5_2$ aufgespannt wird.

Schritt-für-Schritt-Anleitung:

1. Matrix aufstellen:
Schreibe die Vektoren als Zeilen einer Matrix.
$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

2. Rang der Matrix und Basis ermitteln:
Bringe die Matrix $A$ in Zeilenstufenform (oder reduzierte Zeilenstufenform), um lineare Unabhängigkeit zu überprüfen und eine Basis zu finden.

Umformen in Zeilenstufenform:

Starte mit der ersten Zeile und eliminiere die entsprechenden Einträge in den folgenden Zeilen:

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

Subtrahiere die erste Zeile von der vierten und fünften Zeile:

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

Die vierte Zeile ist gleich der dritten Zeile, also können wir sie entfernen:

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

Nun subtrahieren wir die zweite Zeile von der vierten Zeile:

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

Hier sehen wir, dass die dritte und vierte Zeile identisch sind und wir daher die vierte Zeile entfernen können:

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

Die resultierende Matrix ist nun in Zeilenstufenform und verweist auf die Vektoren, die die Basis des Untervektorraums darstellen.

Ergebnis:

Die Basis des Untervektorraums $W$, aufgespannt von den Vektoren $(1,0,1,0,1)$, $(0,0,1,0,1)$, $(0,0,0,1,0)$, $(1,0,1,1,1)$, und $(1,0,0,1,0)$, besteht aus den Vektoren:
$\{(1,0,1,0,1), (0,0,1,0,1), (0,0,0,1,0)\}.$

Diese Vektoren sind linear unabhängig und spannen den Raum $W$ vollständig auf.